Một doanh nghiệp sản xuất hàng hóa. Biết tổng chi phí sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là: \(C\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} + 400x + 5000\) (nghìn đồng). Tổng số tiền thu được khi bán \(x\) đơn vị sản phẩm đó là: \(R\left( x \right) = 4000x - 33{x^2}\) (nghìn đồng). Sản lượng tối ưu và doanh thu lúc đó của doanh nghiệp tương ứng là

Ta có: \({y^\prime } = {\left( {x \cdot {2^{2x}}} \right)^\prime } = {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime } = {x^\prime } \cdot {4^x} + {\left( {{4^x}} \right)^\prime } \cdot x = {4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x\);

\({y^{\prime \prime }} = {\left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right)^\prime } = {\left( {{4^x}} \right)^\prime } + \ln 4 \cdot {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }\)                                     (\({\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }\)làm giống bước trên)

\( = {4^x}\ln 4 + \ln 4 \cdot \left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right) = 2 \cdot {4^x}\ln 4 + {\ln ^2}4 \cdot {4^x} \cdot x = {4^x} \cdot \ln 4(2 + x\ln 4).\)

Theo giả thiết, ta có: \({x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 3\), gọi điểm \(M(2;3)\) là toạ độ tiếp điểm.

Ta có: \({y^\prime } = {\left( {{x^3} - x - 3} \right)^\prime } = 3{x^2} - 1\) nên tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(M\) có hệ số góc là \({y^\prime }(2) = 11\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm \(M\) là:

\(y - 3 = 11(x - 2) \Leftrightarrow y = 11x - 19.\)