Một doanh nghiệp sản xuất hàng hóa. Biết tổng chi phí sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là: \(C\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} + 400x + 5000\) (nghìn đồng). Tổng số tiền thu được khi bán \(x\) đơn vị sản phẩm đó là: \(R\left( x \right) = 4000x - 33{x^2}\) (nghìn đồng). Sản lượng tối ưu và doanh thu lúc đó của doanh nghiệp tương ứng là

Đạo hàm của hàm số \(f\) biểu thị tốc độ tăng dân số của thành phố đó (tính bằng nghìn người/ năm), ta có: \({f^\prime }(t) = \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}}\).

Từ năm 2015 đến năm 2025 nghĩa là \(t = 10\).

Vậy tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t = 10\) là:

\({f^\prime }(10) = \frac{{120}}{{{{(10 + 5)}^2}}} = \frac{8}{{15}} \approx 0,533{\rm{ }}\)(nghìn người/năm)

Ta có: \({y^\prime } = {\left( {x \cdot {2^{2x}}} \right)^\prime } = {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime } = {x^\prime } \cdot {4^x} + {\left( {{4^x}} \right)^\prime } \cdot x = {4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x\);

\({y^{\prime \prime }} = {\left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right)^\prime } = {\left( {{4^x}} \right)^\prime } + \ln 4 \cdot {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }\)                                     (\({\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }\)làm giống bước trên)

\( = {4^x}\ln 4 + \ln 4 \cdot \left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right) = 2 \cdot {4^x}\ln 4 + {\ln ^2}4 \cdot {4^x} \cdot x = {4^x} \cdot \ln 4(2 + x\ln 4).\)