Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t) = 10 + t + 9{t^2} - {t^3}\) trong đó \(s\) tính bằng mét, \(t\) tính bằng giây. Tính thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất (tính từ thời điểm ban đầu)?

Chọn A

Gọi \(v\left( t \right) = p.{t^2} + q.t + r\) đi qua \[O\left( {0;0} \right);\]\[I(\frac{1}{2};8)\] và \[M\left( {1;0} \right)\] ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}r = 0\\\frac{1}{4}p + \frac{1}{2}q + r = 8\\p + q + r = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = 0\\q = 32\\p =  - 32\end{array} \right.\). Vậy \(v\left( t \right) =  - 32{t^2} + 32.t\)

Gia tốc vật là \(a = v'\left( t \right) =  - 64t + 32\)

Ta có: \(v(t) = {x^\prime } =  - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\).

Thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 nghĩa là \(v(t) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = k\pi  \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k(k \in \mathbb{Z}).\end{array}\)

Vậy các thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 là:

\(t = \frac{2}{3} + k(k \in \mathbb{Z})(s)\)