Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc. Kẻ \(OH \bot (ABC)\) tại \(H\). Khi đó:

a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OA \bot OB}\\{OA \bot OC}\end{array} \Rightarrow OA \bot (OBC) \Rightarrow OA \bot BC} \right.\);

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OB \bot OA}\\{OB \bot OC}\end{array} \Rightarrow OB \bot (OAC) \Rightarrow OB \bot AC;} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OC \bot OA}\\{OC \bot OB}\end{array} \Rightarrow OC \bot (OAB) \Rightarrow OC \bot AB.} \right.\end{array}\)

b) Kẻ đường cao \(OK\) của tam giác vuông \(OBC\) thì \(K\) nằm giữa \(B\) và \(C\).

\({\rm{ V\`i  }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot OK}\\{BC \bot OA}\end{array} \Rightarrow BC \bot (OAK) \Rightarrow BC \bot AK} \right.\)

Do đó \(AK\) là đường cao của tam giác \(ABC\), đồng thời \(K\) nằm giữa \(B\) và \(C\) nên các góc \(\widehat {ABC},\widehat {ACB}\) là góc nhọn.

Tương tự, kẻ đường cao \(OE\) của tam giác vuông \(OAB\) thì \(E\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot OE}\\{AB \bot OC}\end{array} \Rightarrow AB \bot (OCE) \Rightarrow AB \bot CE} \right.\).

Do đó \(CE\) là đường cao tam giác \(ABC\), đồng thời \(E\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) nên các góc \(\widehat {ABC},\widehat {CAB}\) là góc nhọn.

Vậy tam giác \(ABC\) có ba góc đều là góc nhọn.

c) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot OA}\\{BC \bot OH}\end{array} \Rightarrow BC \bot (OAH) \Rightarrow BC \bot AH} \right.\).(1)

Tương tự \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot OC}\\{AB \bot OH}\end{array} \Rightarrow AB \bot (OCH) \Rightarrow AB \bot CH} \right.\).(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

d) Tam giác \(OBC\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OK\) nên \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).(3)

Tam giác \(OAK\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\) nên \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}}\).(4)

Thay (3) vào (4), ta được: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).