Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = AD,BC = BD\). Xác định số đo góc hai đường thẳng \(CD,AB\)

Giả sử các cạnh và các đỉnh của kim tự tháp được mô phỏng như hình vẽ bên dướ

Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Vì \(S.ABCD\) là chóp tứ giác đều nên ta có \(SA = SB = SC = SD\).

Từ đó suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot BD\\SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 262\sqrt 2 \) m.

\( \Rightarrow HC = \frac{{AC}}{2} = 131\sqrt 2 \) m.

Xét tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(SH = \sqrt {S{C^2} - H{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {230} \right)}^2} - {{\left( {131\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt {18578} \).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(SI \bot BC\) vì tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) và ta có \[HI = \frac{{AB}}{2} = 131\]m.

Kẻ \(HJ \bot SI\), khi đó \(HJ \bot \left( {SBC} \right)\) vì \(\left\{ \begin{array}{l}HJ \bot SI\\HJ \bot BC\end{array} \right.\),

suy ra \(HJ\) là khoảng cách ngắn nhất để đào con đường vào tâm của đáy kim tự tháp.                      

Xét tam giác \(SHI\) vuông tại \(H\), ta có: \(\frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{18578}} + \frac{1}{{17161}} = \frac{{35739}}{{18578.17161}}\)\( \Rightarrow HJ \approx 94\)m.

Vậy quãng đường ngắn nhất khoảng \(94\)m.

Giả sử rằng đèn lồng có các đỉnh và cạnh như hình minh họa phía trên.

Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Vì \(S.ABCD\) là chóp tứ giác đều nên ta có \(SA = SB = SC = SD\).

Từ đó suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot BD\\SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Xét tam giác\(ABC\) vuông tại \(B\), ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{4^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 2 \).

Suy ra \(AH = \frac{{AC}}{2} = 2\sqrt 2 \).

Xét tam giác \(SHA\) vuông tại \(H\), ta có: \(SH = \sqrt {{5^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt {17}  \approx 4,1\).

Ta thấy rằng thanh nhựa nối từ đỉnh của lồng đèn đến đáy là \(4,4\)cm, lớn hơn chiều dài \(SH\) vừa tìm được. Nên có thể kết luận rằng thanh nhựa không vuông góc với mặt phẳng đáy, hay nói cách khác là không đi qua tâm của đáy.