Một buổi chiều nọ, bên bếp lửa hồng trong gian nhà ấm áp, người ta nhìn thấy ba mẹ con cùng ngồi ăn lạc rang. Tấm ăn trước, cô bốc 1 hạt lạc và bỏ vào miệng; Cám là người bốc lạc tiếp theo, cô bỏ hai hạt lạc vào miệng; dì ghẻ là người bốc lạc tiếp theo liền bỏ 3 hạt vào miệng. Trở lại lượt của Tấm, cô lấy 4 hạt lạc, rồi Cám lấy 5 hạt lạc, dì ghẻ lấy 6 hạt lạc... Bữa ăn hào hứng như thế cho đến lượt cuối cùng thì số hạt lạc không đủ theo quy luật trò chơi, người nào đến lượt cuối sẽ lấy hết số hạt lạc còn lại.

Sau bữa ăn ấm áp ấy, Tấm nhận ra mình đã cho vào bụng khoảng 317 hạt lạc.

Hỏi tổng số hạt lạc mà ba mẹ con đã ăn trong tối đó là bao nhiêu?

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cách đều hai điểm \(A;B\) khi và chỉ khi \(AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\) hoặc \(\left( \alpha  \right)\) đi qua trung điểm \(I\) của \(AB\).

Trường hợp 1: \(AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\) ta có \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1\,;\,4\,;\, - 5} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2\,;\,1\,;\,0} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,6} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {AB} \,} \right] = \left( {5\,;\,10\,;\,9} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(5\left( {x - 2} \right) + 10\left( {y - 1} \right) + 9\left( {z - 6} \right) = 0\) hay \(5x + 10y + 9z - 74 = 0\).

Trường hợp 2: \(\left( \alpha  \right)\) qua trung điểm \(I\left( {5\,;\,\frac{9}{2}\,;\,0} \right)\) của \(AB\) có \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1\,;\,4\,;\, - 5} \right)\), \(\overrightarrow {CI}  = \left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\, - 6} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,6} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là

\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {CD} \,,\,\overrightarrow {CI} } \right] = \left( { - \frac{{13}}{2}\,;\, - 9\,;\, - \frac{{17}}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\left( {13;18;17} \right)\).

Chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left( {13;\,18;\,17} \right)\].

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(13\left( {x - 2} \right) + 18\left( {y - 1} \right) + 17\left( {z - 6} \right) = 0\) hay \(13x + 18y + 17z - 146 = 0\).

Chọn C.

Lời giải

Gọi lượng thức ăn dự kiến tiêu thụ mỗi ngày là \[x\], tổng lượng thức ăn được chuẩn bị là \[45x\]. Gọi n là số ngày thực tế mà lượng thức ăn được dùng hết.

Lượng thức ăn tiêu thụ trong 10 ngày đầu là: 10x.

Lượng thức ăn tiêu thụ kể từ ngày thứ 11 trở đi: \(x\left( {1 + 10\% } \right) + x{\left( {1 + 10\% } \right)^2} +  \ldots  + x{\left( {1 + 10\% } \right)^{n - 10}}\).

Ta có: \(10x + x\left( {1 + 10\% } \right) + x{\left( {1 + 10\% } \right)^2} +  \ldots  + x{\left( {1 + 10\% } \right)^{n - 10}} = 10x + 1,1x \cdot \frac{{1 - {{1,1}^{n - 10}}}}{{1 - 1,1}}\).

Ta có: \(10x + 1,1x \cdot \frac{{1 - {{1,1}^{n - 10}}}}{{1 - 1,1}} = 45x \Leftrightarrow 10 + 1,1 \cdot \frac{{1 - {{1,1}^{n - 10}}}}{{1 - 1,1}} = 45 \Leftrightarrow n = 10 + {\log _{1,1}}\left( {\frac{{46}}{{11}}} \right) \approx 25,01\).

Vậy thực tế lượng thức ăn đó đủ dùng trong \[25\] ngày. Chọn C.