Đề thi Đánh giá năng lực Bộ Công an môn Toán (có đáp án) - Đề số 4

Lời giải

Ta có \[F'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[3]{x} + 2\sqrt x  + x\sqrt x } \right)^\prime } = {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} + 2\sqrt x  + {x^{\frac{3}{2}}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{3}{2}\sqrt x \]. Chọn A.

Lời giải

Ta có \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng nên \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {CC'} \), từ đó suy ra \(C'\left( {0;2;2} \right)\).

Mà \(B\left( {2;0;0} \right)\) nên \(\overrightarrow {BC'}  = \left( { - 2;2;2} \right)\).

Mặt khác: \(A'\left( {0;0;2} \right)\), \(C\left( {0;2;0} \right)\) nên \(\overrightarrow {A'C}  = \left( {0;2; - 2} \right)\).

Suy ra \(\cos \left( {BC',A'C} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {A'C} } \right)} \right| = \frac{{\left| {0 + 4 - 4} \right|}}{{\sqrt {12}  \cdot \sqrt 8 }} = 0\)\( \Rightarrow \)\(\left( {BC',A'C} \right) = 90^\circ \). Chọn D.

Lời giải

Thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{256\pi }}{3} \Rightarrow R = 4\).

Phương trình của \(\left( S \right)\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\). Chọn A.

Lời giải

ĐKXĐ: \(3{x^2} - {x^3} \ge 0 \Leftrightarrow x \le 3\) nên tập xác định của hàm số là \(\left( { - \infty ;3} \right]\).

Ta có \(y' = \frac{{6x - 3{x^2}}}{{2\sqrt {3{x^2} - {x^3}} }}\), \(\forall x \in \left( { - \infty ;3} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Giải \[y' = 0 \Rightarrow x = 2\]. Ta thấy \[y'\] không xác định khi \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;0} \right)\], \[\left( {2;3} \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\]. Chọn B.

Lời giải

Gọi \(x\) là giá bán thực tế của mỗi kg vải thiều, (\(x\): đồng; \(25\,000 \le x \le 40\,000\) đồng).

Ta có thể lập luận như sau:

Giá 40000 đồng thì bán được 30 kg vải thiều.

Giảm giá 4000 đồng thì bán được thêm 40 kg vải thiều.

Giảm giá 40000 – \(x\) đồng thì bán được thêm bao nhiêu kg vải thiều?

Theo bài ra số kg bán thêm được là: \(\left( {40000 - x} \right) \cdot \frac{{40}}{{4000}} = \frac{1}{{100}}\left( {40000 - x} \right)\).

Do đó số kg vải thiều bán được tương ứng với giá bán \(x\) là: \(30 + \frac{1}{{100}}\left( {40000 - x} \right) =  - \frac{1}{{100}}x + 430\).

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm lợi nhuận thu được (\(F\left( x \right)\): đồng).

Ta có: \(F\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{100}}x + 430} \right) \cdot \left( {x - 25000} \right) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 680x - 10\,750\,000\).

Bài toán trở thành tìm GTLN của \(F\left( x \right) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 680x - 10750000\), Điều kiện: \(25000 \le x \le 40000\).

Ta có \(F'\left( x \right) =  - \frac{1}{{50}}x + 680\); \(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{{50}}x + 680 = 0 \Leftrightarrow x = 34\,000\).

Vì hàm số \(F\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {25000;40000} \right]\) và

\(F\left( {25000} \right) = 0\); \(F\left( {34000} \right) = 810000\); \(F\left( {40000} \right) = 450000\).

Vậy với \(x = 34000\) thì \(F\left( x \right)\) đạt GTLN.

Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi kg vải thiều là 34000 đồng.

Chọn A.

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cách đều hai điểm \(A;B\) khi và chỉ khi \(AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\) hoặc \(\left( \alpha  \right)\) đi qua trung điểm \(I\) của \(AB\).

Trường hợp 1: \(AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\) ta có \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1\,;\,4\,;\, - 5} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2\,;\,1\,;\,0} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,6} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {AB} \,} \right] = \left( {5\,;\,10\,;\,9} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(5\left( {x - 2} \right) + 10\left( {y - 1} \right) + 9\left( {z - 6} \right) = 0\) hay \(5x + 10y + 9z - 74 = 0\).

Trường hợp 2: \(\left( \alpha  \right)\) qua trung điểm \(I\left( {5\,;\,\frac{9}{2}\,;\,0} \right)\) của \(AB\) có \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1\,;\,4\,;\, - 5} \right)\), \(\overrightarrow {CI}  = \left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\, - 6} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,6} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là

\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {CD} \,,\,\overrightarrow {CI} } \right] = \left( { - \frac{{13}}{2}\,;\, - 9\,;\, - \frac{{17}}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\left( {13;18;17} \right)\).

Chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left( {13;\,18;\,17} \right)\].

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(13\left( {x - 2} \right) + 18\left( {y - 1} \right) + 17\left( {z - 6} \right) = 0\) hay \(13x + 18y + 17z - 146 = 0\).

Chọn C.

Lời giải

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0.

Nên thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là \( - 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5\) (s).

Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là: \({S_2} = \int\limits_0^5 {\left( { - 2t + 10} \right){\rm{d}}t}  = 25\) (m).

Như vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô đi với vận tốc 10 m/s và 5 s ô tô chuyển động chậm dần đều.

Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây trước khi đạp phanh là \({S_1} = 3 \cdot 10 = 30\) (m).

Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quãng đường \(S = {S_1} + {S_2} = 30 + 25 = 55\) (m). Chọn A.

Lời giải

Ta có \[y' = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right)\].

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình \[m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\] phải có hai nghiệm phân biệt \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 3m\left( {m - 2} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 2{m^2} + 4m + 1 > 0\end{array} \right.\].

Theo định lý Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m}\\{x_1} \cdot {x_2} = \frac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m}\end{array} \right.\].

Theo bài ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m}\\{x_1} + 2{x_2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{3m - 4}}{m}\\{x_2} = 1 - \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m} = \frac{{2 - m}}{m}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \frac{{3m - 4}}{m} \cdot \frac{{2 - m}}{m} = \frac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m} \Rightarrow 3\left( {2 - m} \right)m + \left( {3m - 4} \right)\left( {2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\m = \frac{2}{3}\left( {{\rm{t/m}}} \right)\end{array} \right.\].

Vậy \({m_1}^2 + {m_2}^2 = \frac{{40}}{9}\). Chọn A.