(3,0 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại đỉnh \(A\). Gọi \(H\) là trung điểm của cạnh \(BC\).

Chứng minh: \(\Delta ABH = \Delta ACH\) và \(AH\)là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Đường thẳng đi qua điểm \(H\) và song song với đường thẳng \(AC\), cắt cạnh \(AB\) tại điểm \(D\). Chứng minh: \(\Delta ADH\)là tam giác cân.

Chứng minh: \(CD < \frac{{AC + BC}}{2}\).

a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\)có:

\[HB = HC\] (gt)

\[AB = AC\](gt)

\[AH\] chung

Do đó: \(\Delta ABH = \Delta ACH\) (c.c.c)

\( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {CAH}\) (hai góc tương tứng) hay \(AH\)là tia phân giác \(\widehat {BAC}\)

b) Vì \[HD{\rm{//}}AC\] nên \(\widehat {DHA} = \widehat {CAH}\) (cặp góc so le trong)

Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)

\( \Rightarrow \widehat {DHA} = \widehat {BAH} = \widehat {DAH}\), suy ra \(\Delta ADH\)là tam giác cân tại D.

c) Trên tia đối tia \(HD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(HE = HD\)

Xét \(\Delta CHE\) và \(\Delta BHD\)có:

\[HB = HC\] (gt)

\(\widehat {CHE} = \widehat {BHD}\) (đối đỉnh)

\[EH = DH\](cách dựng)

Do đó: \(\Delta CHE = \Delta BHD\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {ECH} = \widehat {DBH}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc nằm ở vị trí so le trong nên \(CE{\rm{//}}BD\) hay \(CE{\rm{//}}AD\)

Xét\(\Delta CDE\) và \(\Delta DCA\)có:

\[\widehat {ACD} = \widehat {EDC}\] (2 góc so le trong, do \[HD{\rm{//}}AC\])

\(CD\) chung

\[\widehat {ECD} = \widehat {ADC}\](2 góc so le trong, do \(CE{\rm{//}}AD\) )

Do đó: \(\Delta CDE = \Delta DCA\) (g.c.g)

Suy ra: \(AC = DE\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có: \(\begin{array}{l}HD = \frac{1}{2}ED = \frac{1}{2}AC\\HC = \frac{1}{2}CB\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho \(\Delta CDH\) ta có:

\(CD < HD + HC < \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC < \frac{{AC + BC}}{2}\) (đpcm)