Từ \(2x = 3y\), với \(x,y \ne 0\), ta suy ra

a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\)có:

\[HB = HC\] (gt)

\[AB = AC\](gt)

\[AH\] chung

Do đó: \(\Delta ABH = \Delta ACH\) (c.c.c)

\( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {CAH}\) (hai góc tương tứng) hay \(AH\)là tia phân giác \(\widehat {BAC}\)

b) Vì \[HD{\rm{//}}AC\] nên \(\widehat {DHA} = \widehat {CAH}\) (cặp góc so le trong)

Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)

\( \Rightarrow \widehat {DHA} = \widehat {BAH} = \widehat {DAH}\), suy ra \(\Delta ADH\)là tam giác cân tại D.

c) Trên tia đối tia \(HD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(HE = HD\)

Xét \(\Delta CHE\) và \(\Delta BHD\)có:

\[HB = HC\] (gt)

\(\widehat {CHE} = \widehat {BHD}\) (đối đỉnh)

\[EH = DH\](cách dựng)

Do đó: \(\Delta CHE = \Delta BHD\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {ECH} = \widehat {DBH}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc nằm ở vị trí so le trong nên \(CE{\rm{//}}BD\) hay \(CE{\rm{//}}AD\)

Xét\(\Delta CDE\) và \(\Delta DCA\)có:

\[\widehat {ACD} = \widehat {EDC}\] (2 góc so le trong, do \[HD{\rm{//}}AC\])

\(CD\) chung

\[\widehat {ECD} = \widehat {ADC}\](2 góc so le trong, do \(CE{\rm{//}}AD\) )

Do đó: \(\Delta CDE = \Delta DCA\) (g.c.g)

Suy ra: \(AC = DE\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có: \(\begin{array}{l}HD = \frac{1}{2}ED = \frac{1}{2}AC\\HC = \frac{1}{2}CB\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho \(\Delta CDH\) ta có:

\(CD < HD + HC < \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC < \frac{{AC + BC}}{2}\) (đpcm)

Với \(a,b,c\) là các số khác 0 thỏa mãn \( - a + 2b + 2c \ne 0;\)\(2a - b + 2c \ne 0;\)\(2a + 2b - c \ne 0\), ta có:

\(\frac{a}{{ - a + 2b + 2c}} = \frac{b}{{2a - b + 2c}} = \frac{c}{{2a + 2b - c}}\)

\( \Rightarrow \frac{{ - a + 2b + 2c}}{a} = \frac{{2a - b + 2c}}{b} = \frac{{2a + 2b - c}}{c}\)

\( \Rightarrow \frac{{ - a + 2b + 2c}}{a} + 3 = \frac{{2a - b + 2c}}{b} + 3 = \frac{{2a + 2b - c}}{c} + 3\)

\( \Rightarrow \frac{{2a + 2b + 2c}}{a} = \frac{{2a + 2b + 2c}}{b} = \frac{{2a + 2b + 2c}}{c}\)

\( \Rightarrow \frac{{a + b + c}}{a} = \frac{{a + b + c}}{b} = \frac{{a + b + c}}{c}\) \[\left( 1 \right)\]

+) Nếu \(a + b + c \ne 0\), từ (1) suy ra \(a = b = c\)

Khi đó: \(P = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\)

\( = \left( {1 + \frac{a}{a}} \right)\left( {1 + \frac{c}{c}} \right)\left( {1 + \frac{b}{b}} \right)\)

\( = \left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 1} \right) = 8\)

+) Nếu \(a + b + c = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = - c\\b + c = - a\\a + c = - b\end{array} \right.\)

Khi đó: \(P = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\)

\( = \frac{{a + b}}{a}.\frac{{c + a}}{c}.\frac{{b + c}}{b}\)

\( = \frac{{ - c}}{a}.\frac{{ - b}}{c}.\frac{{ - a}}{b} = - 1\)

Vậy \(P = \left\{ \begin{array}{l}8{\rm{ }}khi{\rm{ }}a + b + c \ne 0\\ - 1{\rm{ }}khi{\rm{ }}a + b + c = 0\end{array} \right.\)