Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 4\end{array} \right.\) và điểm \(A\left( {0;6;4} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng \(d\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc toạ độ \(O\) đến điểm \(H\).

Một công ty khí tượng sử dụng hai mô hình dự báo thời tiết hoạt động độc lập với nhau là Mô hình 1 và Mô hình 2. Dựa trên dữ liệu quá khứ, độ chính xác của các mô hình được quy định như sau:

Mô hình 1: Có xác suất dự báo đúng là \(80\% \). Nghĩa là, nếu thực tế trời mưa, xác suất mô hình báo có mưa là \(0,8\); nếu thực tế không mưa, xác suất mô hình báo không mưa là \(0,8\).

Mô hình 2: Có xác suất dự báo đúng là \(90\% \). Nghĩa là, nếu thực tế trời mưa, xác suất mô hình báo có mưa là \(0,9\); nếu thực tế không mưa, xác suất mô hình báo không mưa là \(0,9\).

Biết rằng tỷ lệ ngày có mưa trong năm ở khu vực này là \(20\% \).

Một cơ sở sản xuất dự định làm các viên gạch men hình vuông cạnh \[60\;cm\]. Bề mặt viên gạch được trang trí bởi một hoạ tiết hình chữ nhật màu trắng có tâm trùng với tâm viên gạch. Các đỉnh của hình chữ nhật này nằm trên hai đường parabol đối xứng nhau qua tâm viên gạch. Biết rằng mỗi đường parabol có đỉnh tại trung điểm một cạnh của viên gạch và đi qua hai đầu mút của cạnh đối diện (như hình vẽ mô phỏng). Cho biết chi phí nguyên liệu phần men trắng là \[80\] nghìn đồng/m², còn phần men màu bao quanh là \[200\]nghìn đồng/m². Hỏi chi phí nguyên liệu thấp nhất để sản xuất một viên gạch là bao nhiêu nghìn đồng? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một kiến trúc sư thiết kế bồn hoa trong công viên trên hệ trục tọa độ \(Oxy\) (đơn vị: mét). Bồn hoa là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):y = - {x^2} + 4\) và trục hoành \(Ox\). Kiến trúc sư bố trí một dải đèn LED thẳng , được mô tả bởi đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0;1} \right)\), cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\)( có hoành độ lần lượt là \({x_1}\),\({x_2}\)). Dải đèn chia bồn hoa thành hai phần riêng biệt: Phần hình phẳng nằm phía trên dây cung \(AB\) được dùng để trồng hoa hồng, phần còn lại của bồn hoa (nằm phía dưới dây cung \(AB\)) được dùng để trồng cỏ Nhật

Xét các cấp số cộng \(\left( {{a_n}} \right)\) có số hạng đầu tiên \({a_1}\) và công sai \(d\) đều là các số nguyên dương và thỏa mãn \({2^{{a_8}}} = {2^{27}}{a_8}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a_3}\).

Xét một bảng ô vuông kích thước \(3 \times 3\). Mỗi ô được điền ngẫu nhiên và độc lập một giá trị từ tập \(\{ - 1;0;1\} \). Biết rằng tổng các số trên mỗi hàng đều bằng 0, gọi \(p\) là xác suất để tổng các số trên mỗi cột cũng đều bằng 0. Tính giá trị của \(3430p\).

Trong hải dương học, độ sâu \(d\) (tính bằng mét) mà ánh sáng mặt trời có thể xuyên qua được liên hệ với cường độ ánh sáng \(I\) tại độ sâu đó bằng công thức \(I = {I_0}.{e^{ - kd}}\) trong đó \({I_0}\) là cường độ ánh sáng tại mặt nước và \(k\) là hệ số hấp thụ của nước. Biết cường độ ánh sáng tại độ sâu \[10m\] bằng một nửa cường độ ánh sáng tại mặt nước. Tìm giá trị của \(k\) (làm tròn đến ba chữ số thập phân).

Một công ty năng lượng đang xây dựng một bể chứa khí thiên nhiên hóa lỏng \(\left( {LNG} \right)\) có dạng hình cầu với bán kính \(20\) mét. Để đảm bảo an toàn và dễ dàng trong việc lắp đặt hệ thống đường ống, phần đáy và phần đỉnh của bể được cắt phẳng. Phần đáy bị cắt bởi một mặt phẳng cách tâm \(18\) mét, phần đỉnh bị cắt bởi một mặt phẳng cách tâm \(15\) mét (tâm nằm giữa hai mặt phẳng). Hỏi thể tích bể đó là bao nhiêu nghìn mét khối? (làm tròn đến hàng đơn vị)