Cho phương trình \({x^4} + m{x^3} - 2\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + mx + 1 = 0\). Tìm \(m\) để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt.

\({x^4} + m{x^3} - 2\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + mx + 1 = 0\)(1)

Nhận xét rằng \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho \({x^2} \ne 0\) ta được:

\({x^2} + mx - 2\left( {{m^2} - 1} \right) + m \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + m\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 2{m^2} + 2 = 0.\)

Đặt \(t = x + \frac{1}{x}\), điều kiện \(|t| \ge 2\), suy ra \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2\).

Khi đó, phương trình có dạng: \(f(t) = {t^2} + mt - 2{m^2} = 0\) (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt tức (1) có nghiệm thỏa mãn \(\left[ \begin{array}{l}2 < {t_1} < {t_2}\left( * \right)\\{t_1} < {t_2} <  - 2\left( * \right)\\{t_1} <  - 2 < 2 < {t_2}(**)\end{array} \right.\).

Nhận xét: Phương trình (2) có \(ac =  - 2{m^2} < 0\) nên \(\left( * \right)\) không thể xảy ra.

Khi đó, để có \(\left( {**} \right)\) thì điều kiện là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(2) < 0}\\{f( - 2) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 + 2m - 2{m^2} < 0}\\{4 - 2m - 2{m^2} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - m - 2 > 0}\\{{m^2} + m - 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow |m| > 2.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy với \(|m| > 2\) thì thỏa mãn đề bài cho.