Cho phương trình \({x^4} + m{x^3} - 2\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + mx + 1 = 0\). Tìm \(m\) để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt.

Ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ (với \[x,\,y > 0\] và có đơn vị \[m\])

Khi đó chi phí để trả cho nguyên vật liệu làm hàng rào là: \[3x.50000 + 2y.60000 = 15000000\]

\[ \Leftrightarrow 15x + 12y = 1500\] \[ \Rightarrow y = \frac{{500 - 5x}}{4}\].

Diện tích của khu vườn sau khi được rào lại là \[S = x.2y = 2x.\frac{{500 - 5x}}{4} = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)\].

Ta có \[S = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right) = \frac{5}{2}\left( { - {x^2} + 2.50x - 2500 + 2500} \right)\].

\[ \Leftrightarrow S = \frac{5}{2}\left[ {2500 - {{\left( {x - 50} \right)}^2}} \right] \le 6250\].

Vậy diện tích khu vườn lớn nhất là \[6250\,{m^2}\]\[ \Leftrightarrow x = 50\].

Hàm số xác định \( \Leftrightarrow (m + 10){x^2} - 2(m - 2)x + 1 \ge 0(*)\).

Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left( * \right)\) đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

+) \(m =  - 10:\left( * \right)\) trở thành: \(24x + 1 \ge 0\) không đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(m =  - 10\) loại.

+) \(m \ne  - 10:(*)\) đúng với \(\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{{\Delta ^\prime } \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 10 > 0}\\{{{(m - 2)}^2} - (m + 10) \le 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{m^2} - 5m - 6 \le 0\\m >  - 10\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - 1 \le m \le 6\\m >  - 10\end{array}\end{array} \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 6.} \right.} \right.\)

Vậy với \( - 1 \le m \le 6\) thì hàm số đã cho có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).