Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {6 - 5x}  = 2 - x\)?

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - m\} \).

Với \({x_1} \ne {x_2}\) ta có: \(A = \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{{\frac{{{x_1}}}{{{x_1} + m}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_2} + m}}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{m}{{\left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right)}}\).

Để hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\) khi \( - 1 \le  - m \Leftrightarrow m \le 1(*)\)

Do đó: \(\forall {x_1},{x_2} \in ( - \infty ; - m),{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_1} <  - m;{x_2} <  - m\)

\( \Rightarrow {x_1} + m < 0,{x_2} + m < 0 \Rightarrow A < 0 \Leftrightarrow m < 0\)

Kết hợp với (*) ta có \(m < 0\).

Điều kiện \( - 2 \le x \le 4\).

Đặt \(t = \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = \sqrt {9 - {{(x - 1)}^2}}  \le 3 \Rightarrow t \in [0;3]\).

Phương trình đã cho trở thành \( - {t^2} + t + 5 = 2m(1)\).

Phương trình đã cho có nghiệm khi (1) có nghiệm \(t \in [0;3]\).

Xét hàm số \(f(t) =  - {t^2} + t + 5\) trên đoạn \([0;3]\).

Bảng biến thiên:

Phương trình \(f(t) = 2m\) có nghiệm khi \( - 1 \le 2m \le \frac{{21}}{4} \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\)

Vậy \( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\).