Tìm \(m\) để hệ bất phương trình sau có 8 nghiệm nguyên: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + m \ge 0}\\{{x^2} - 10x \le 0}\end{array}} \right.\).

Điều kiện \( - 2 \le x \le 4\).

Đặt \(t = \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = \sqrt {9 - {{(x - 1)}^2}}  \le 3 \Rightarrow t \in [0;3]\).

Phương trình đã cho trở thành \( - {t^2} + t + 5 = 2m(1)\).

Phương trình đã cho có nghiệm khi (1) có nghiệm \(t \in [0;3]\).

Xét hàm số \(f(t) =  - {t^2} + t + 5\) trên đoạn \([0;3]\).

Bảng biến thiên:

Phương trình \(f(t) = 2m\) có nghiệm khi \( - 1 \le 2m \le \frac{{21}}{4} \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\)

Vậy \( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\).

Tổng trọng lượng cá thu được sau một vụ là

\(T(n) = n(360 - 10n) =  - 10{n^2} + 360n\).

Đây là hàm số bậc hai (theo \(n\) ) có \(a =  - 10 < 0,b = 360 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 18\), \(T(18) = 3240\)

Vậy, người nuôi cần thả 18 con cá trên một đơn vị diện tích để đạt tổng trọng lượng cá lớn nhất là 3240 (đơn vị khối lượng).