Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \((x + 1)(x - 3) + \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = 2m\) có nghiệm.

Tổng trọng lượng cá thu được sau một vụ là

\(T(n) = n(360 - 10n) =  - 10{n^2} + 360n\).

Đây là hàm số bậc hai (theo \(n\) ) có \(a =  - 10 < 0,b = 360 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 18\), \(T(18) = 3240\)

Vậy, người nuôi cần thả 18 con cá trên một đơn vị diện tích để đạt tổng trọng lượng cá lớn nhất là 3240 (đơn vị khối lượng).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - m\} \).

Với \({x_1} \ne {x_2}\) ta có: \(A = \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{{\frac{{{x_1}}}{{{x_1} + m}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_2} + m}}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{m}{{\left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right)}}\).

Để hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\) khi \( - 1 \le  - m \Leftrightarrow m \le 1(*)\)

Do đó: \(\forall {x_1},{x_2} \in ( - \infty ; - m),{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_1} <  - m;{x_2} <  - m\)

\( \Rightarrow {x_1} + m < 0,{x_2} + m < 0 \Rightarrow A < 0 \Leftrightarrow m < 0\)

Kết hợp với (*) ta có \(m < 0\).