Bạn Hải có một tấm bìa hình vuông cạnh \(40\) cm. Bạn muốn cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông nhỏ bằng nhau để gấp và dán lại thành một hộp hình hộp chữ nhật không có nắp (tham khảo hình vẽ).

Để hộp có thể tích lớn nhất thì độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bị cắt là:

 

a) Đúng

\[\overrightarrow {DA} = \left( { - 1,3; - 0,7;0,7} \right)\] suy ra \[AD = \sqrt {{{\left( { - 1,3} \right)}^2} + {{\left( { - 0,7} \right)}^2} + 0,{7^2}} \approx 1,63\left( m \right)\].

b) Đúng

Ta có \(\overrightarrow {DB} = \left( {1,3; - 0,7;0,7} \right)\) và \[\overrightarrow u = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} = \left( {0; - 1,4;1,4} \right)\]

Hợp lực \(\overrightarrow F \) sẽ cùng phương với \[\overrightarrow u = \left( {0; - 1,4;1,4} \right)\]. Vectơ chỉ phương của \(Oz\) là \(\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)\)

Do \( - 1,4 \ne 0\) nên nó không song song với trục \(Oz\).

c) Đúng

Điều kiện cân bằng \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} \).

Ta có: \[\overrightarrow {{T_1}} = 320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DA} }}{{\left| {\overrightarrow {DA} } \right|}}\], \[\overrightarrow {{T_2}} = 320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DB} }}{{\left| {\overrightarrow {DB} } \right|}}\], \(DA = DB = \sqrt {2,67} \).

Suy ra

\(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} }}{{\sqrt {2,67} }}} \right| = \frac{{320}}{{\sqrt {2,67} }} \cdot \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right| = \frac{{320}}{{\sqrt {2,67} }} \cdot \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1,4} \right)}^2} + 1,{4^2}} \approx 387,74\left( N \right)\).

d) Sai

Gọi vị trí mới của tay có tọa độ \(D'\left( {0;y;1,2} \right)\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {D'A} = \left( { - 1,3; - y;0,7} \right)\\\overrightarrow {D'B} = \left( {1,3; - y;0,7} \right)\end{array} \right.\)

Để góc giữa hai dây bằng \(90^\circ \) thì \(\overrightarrow {D'A} \cdot \overrightarrow {D'B} = 0 \Leftrightarrow y_D^2 = 1,2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_D} \approx 1,10\\{y_D} \approx - 1,10.\end{array} \right.\)

Vị trí đứng tập ở chiều dương nên \({y_D} = 1,10\left( m \right)\).

Đáp án: \(5,2\)

+) \(\overrightarrow {MN} \left( {1200;0;0} \right)\). Vecto vận tốc \(\overrightarrow {{v_1}} \left( {800;0;0} \right)\).

Tọa độ máy bay A tại thời điểm \(t\): \(A(t) = (800t;0;9)\)

+) \(\overrightarrow {PQ} = (600;200;0)\). Vecto vận tốc của nó là: \({\vec v_2} = (600;200;0)\)

Tọa độ của máy bay B tại thời điểm \(t\): \(B(t) = (103 + 600t; - 97 + 200t;12)\)

Ta có \(\overrightarrow {AB} (t) = (103 - 200t;200t - 97;3)\)

Bình phương khoảng cách giữa hai máy bay là

\(f(t) = |\overrightarrow {AB} (t){|^2} = {(103 - 200t)^2} + {(200t - 97)^2} + {3^2}\)

\(f'(t) = - 41200 + 80000t + 80000t - 38800 = 160000t - 80000\)

\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow 160000t = 80000 \Leftrightarrow t = 0,5\) (giờ),

Tại thời điểm \(t = 0,5 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \left( {3;3;3} \right)\).

Khoảng cách thực tế ngắn nhất là: \(d = \sqrt {{3^2} + {3^2} + {3^2}} = \sqrt {27} \approx 5,1961...\)

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được kết quả: 5,2.