Anh Nam làm việc tại một giàn khoan cách bờ biển \[10{\rm{ km}}\]. Chị Mai, bạn thân của anh Nam, làm việc tại một cơ quan trên bờ biển cách nơi làm việc của anh Nam \[{\rm{6 km}}\] theo phương ngang. Thứ Bảy tuần sau anh Nam được nghỉ phép nên hai người dự định gặp nhau tại một địa điểm P trên bờ biển. Biết rằng anh Nam sẽ di chuyển vào bờ biển bằng thuyền với vận tốc \[{\rm{15 km}}\], chị Mai đi bộ với vận tốc \[{\rm{5 km}}\]và hai người dự định cùng xuất phát rồi đến nơi cùng lúc. Giả thiết đường bờ biển là đường thẳng và thuyền chở anh Nam cũng di chuyển theo đường thẳng. Hỏi địa điểm họ dự định gặp nhau cách cơ quan của chị Mai bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 9.

Gọi \(H = (1,1,0)\) và \(K = (10,13,0)\) là hình chiếu của \(A\) và \(B\) lên mặt phẳng \(Oxy\).

Có \(S = AM + BN = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} + \sqrt {B{K^2} + N{K^2}} = \sqrt {9 + H{M^2}} + \sqrt {36 + N{K^2}} \). Khi đó để \({S_{\min }}\) thì \(H,M,N,K\) theo thứ tự thẳng hàng.

Ta có: \(\overrightarrow {HK} = (9,12,0)\); \(|\overrightarrow {HK} | = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}} = 15\).

Do \(MN = 5\), nên \(\overrightarrow {MN} = \frac{5}{{15}}\overrightarrow {HK} = (3,4,0)\).

Gọi \(A'\left( {1;1; - 3} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\left( {1;1;3} \right)\) qua \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(C\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {MN} \). Suy ra \(C\left( {4;5; - 3} \right)\) và \(A'CNM\) là hình bình hành.

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = A'M\\A'M = CN\end{array} \right.\) suy ra \(AM = CN\).

Khi đó: \(S = AM + BN = CN + BN \ge BC\). Dấu “=” xảy ra khi \(B,N,C\)thẳng hàng.

Có\(\overrightarrow {BC} = \left( {6;8;9} \right)\), phương trình đường thẳng \(BC:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 6t\\y = 13 + 8t\\z = 6 + 9t\end{array} \right.\).

Vì \(N = BC \cap \left( {Oxy} \right)\) nên \(6 + 9t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 2}}{3} \Rightarrow N\left( {6;\frac{{23}}{3};0} \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {MN} = \left( {3;4;0} \right)\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}6 - {x_M} = 3\\\frac{{23}}{3} - {y_M} = 4\\{z_M} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 3\\{y_M} = \frac{{11}}{3}\\{z_M} = 0\end{array} \right.\] suy ra \[M\left( {3;\frac{{11}}{3};0} \right)\].

Vậy \[{x_M} + {x_N} = 9\].

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \(R = 6 - 1 = 5\). Vậy a) đúng.

b) Ta có bảng số liệu sau:

* Tính \({Q_1}\).

Có \(\frac{n}{4} = \frac{{40}}{4} = 10\), chọn nhóm 2 có tần số tích luỹ bằng 10.

Thì \({Q_1} = 2 + \left( {\frac{{10 - 4}}{6}} \right).1 = 3\)

* Tính \({Q_3}\).

Có \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.40}}{4} = 30\), chọn nhóm 4 có tần số tích luỹ bằng 32.

Thì \({Q_3} = 4 + \left( {\frac{{30 - 22}}{{10}}} \right).1 = 4,8\)

* Khoảng tứ phận vị là \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 4,8 - 3 = 1,8\). Vậy b) đúng.

c) Giá trị trung bình của mẫu số liệu trên là:

\(\bar x = \frac{1}{{40}}.\left( {1,5.4 + 2,5.6 + 3,5.12 + 4,5.10 + 5,5.8} \right) = 3,8\)

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

\({s^2} = \frac{1}{{40}}.\left[ {4{{\left( {1,5 - 3,8} \right)}^2} + 6{{\left( {2,5 - 3,8} \right)}^2} + 12{{\left( {3,5 - 3,8} \right)}^2} + 10{{\left( {4,5 - 3,8} \right)}^2} + 8{{\left( {5,5 - 3,8} \right)}^2}} \right] = 1,51\)

Vậy c) Sai.

d) Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ 40 học sinh, thì số cách chọn là: \(n\left( \Omega \right) = C_{40}^4 = 91390\).

Gọi \(A\) là biến cố “ba nhóm đã phân chia đều có học sinh được chọn”

Phân chia 3 nhóm theo yêu cầu:

Nhóm 1 (học sinh chưa chăm) gồm nhóm \(\left[ {1\,;\,2} \right)\) và \(\left[ {2\,;\,3} \right)\), nên tổng 10 em.

Nhóm 2 (học sinh đạt yêu cầu) gồm nhóm \(\left[ {3\,;\,4} \right)\) và \(\left[ {4\,;\,5} \right)\), nên tổng 22 em.

Nhóm 3 (học sinh chăm chỉ) gồm nhóm \(\left[ {5\,;\,6} \right)\) và \(\left[ {6\,;\,7} \right)\), nên tổng 8 em.

Để cả ba nhóm đều có học sinh, ta có các trường hợp chia như sau:

+ TH1: Chọn 1 học sinh nhóm 1, 1 học sinh nhóm 2, và 2 học sinh nhóm 3.

Số cách chọn là: \(C_{10}^1.C_{22}^1.C_8^2 = 6160\) (cách chọn)

+ TH2: Chọn 1 học sinh nhóm 1, 2 học sinh nhóm 2, và 1 học sinh nhóm 3.

Số cách chọn là: \(C_{10}^1.C_{22}^2.C_8^1 = 18480\) (cách chọn)

+ TH3: Chọn 2 học sinh nhóm 1, 1 học sinh nhóm 2, và 1 học sinh nhóm 3.

Số cách chọn là: \(C_{10}^2.C_{22}^1.C_8^1 = 7920\) (cách chọn)

Vậy tổng số cách thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 6160 + 18480 + 7920 = 32560\)

Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{32560}}{{91390}} = \frac{{88}}{{247}}\).

Vậy d) đúng.