Cho tập \(X = \left\{ {1;2;3;...;12} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên 4 số phân biệt từ tập \(X\) rồi đặt 1 số vào vòng tròn lớn ở chính giữa, đặt 3 số còn lại vào ba vòng tròn nhỏ xung quanh (ba vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí). Gọi \(P\) là xác suất để tổng các số tự nhiên trên hai vòng tròn nhỏ bất kì luôn nhỏ hơn số ở vòng tròn lớn chính giữa đồng thời tổng cả ba số trên ba vòng tròn nhỏ luôn lớn hơn số ở vòng tròn lớn. Tính giá trị của \(1980P\).

Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng.

a) Sau 2 giờ, tốc độ thay đổi nhiệt độ của lon sữa là \(T'\left( 2 \right) = 7 \cdot {e^{ - 0,35 \cdot 2}} = 7 \cdot {e^{ - 0,7}} \approx 3,48^\circ {\rm{C}}\)/giờ.

Vậy a) đúng.

b) Nhiệt độ lon sữa tính từ thời điểm lấy ra khỏi tủ lạnh cho đến khi lon sữa đạt nhiệt độ môi trường được tính bởi công thức:

\(T\left( t \right) = \int {T'\left( t \right)dt = \int {\left( {7 \cdot {e^{ - 0,35t}}} \right){\rm{d}}t = \frac{7}{{ - 0,35}}} } \,{e^{ - 0,35t}} + C = - 20{e^{ - 0,35t}} + C\);

\(T\left( 0 \right) = - 4 \Rightarrow - 20 \cdot {e^{ - 0,35 \cdot 0}} + C = - 4 \Rightarrow C = 16.\)

Vậy \(T\left( t \right) = \)\( - 20{e^{ - 0,35t}} + 16\).

Vậy b) sai.

c) Thời gian để lon sữa đạt nhiệt độ môi trường, tức là

\(T\left( t \right) = 10 \Rightarrow - 20{e^{ - 0,35t}} + 16 = 10 \Rightarrow {e^{ - 0,35t}} = \frac{3}{{10}} \Rightarrow t = \frac{1}{{ - 0,35}}\ln \left( {\frac{3}{{10}}} \right) \approx 3,44\).

Vậy c) đúng.

d) Ta có \(L\left( t \right) = \int {L'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {\left( {k \cdot {e^{ - 0,22t}}} \right){\rm{d}}t = \frac{k}{{ - 0,22}}\,} } {e^{ - 0,22t}} + C\),

\[L\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow \frac{k}{{ - 0,22}}{e^{ - 0,22 \cdot 0}} + C = 10 \Rightarrow C = 10 + \frac{k}{{0,22}}\].

Vậy \[L\left( t \right) = \frac{k}{{ - 0,22}}{e^{ - 0,22t}} + 10 + \frac{k}{{0,22}}\].

Khi đó \[L\left( {\frac{5}{{60}}} \right) = 70 \Rightarrow \frac{k}{{ - 0,22}}{e^{ - 0,22.\frac{5}{{60}}}} + 10 + \frac{k}{{0,22}} = 70 \Rightarrow k \approx 726,6 \Rightarrow k \in \left( {720;730} \right)\].

Vậy d) đúng.

Đáp án: 9.

Gọi \(H = (1,1,0)\) và \(K = (10,13,0)\) là hình chiếu của \(A\) và \(B\) lên mặt phẳng \(Oxy\).

Có \(S = AM + BN = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} + \sqrt {B{K^2} + N{K^2}} = \sqrt {9 + H{M^2}} + \sqrt {36 + N{K^2}} \). Khi đó để \({S_{\min }}\) thì \(H,M,N,K\) theo thứ tự thẳng hàng.

Ta có: \(\overrightarrow {HK} = (9,12,0)\); \(|\overrightarrow {HK} | = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}} = 15\).

Do \(MN = 5\), nên \(\overrightarrow {MN} = \frac{5}{{15}}\overrightarrow {HK} = (3,4,0)\).

Gọi \(A'\left( {1;1; - 3} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\left( {1;1;3} \right)\) qua \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(C\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {MN} \). Suy ra \(C\left( {4;5; - 3} \right)\) và \(A'CNM\) là hình bình hành.

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = A'M\\A'M = CN\end{array} \right.\) suy ra \(AM = CN\).

Khi đó: \(S = AM + BN = CN + BN \ge BC\). Dấu “=” xảy ra khi \(B,N,C\)thẳng hàng.

Có\(\overrightarrow {BC} = \left( {6;8;9} \right)\), phương trình đường thẳng \(BC:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 6t\\y = 13 + 8t\\z = 6 + 9t\end{array} \right.\).

Vì \(N = BC \cap \left( {Oxy} \right)\) nên \(6 + 9t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 2}}{3} \Rightarrow N\left( {6;\frac{{23}}{3};0} \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {MN} = \left( {3;4;0} \right)\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}6 - {x_M} = 3\\\frac{{23}}{3} - {y_M} = 4\\{z_M} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 3\\{y_M} = \frac{{11}}{3}\\{z_M} = 0\end{array} \right.\] suy ra \[M\left( {3;\frac{{11}}{3};0} \right)\].

Vậy \[{x_M} + {x_N} = 9\].