Trong không gian \(Oxyz\), mặt đất là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), có hai trạm phát sóng trên không: trạm \(A\) đặt trên không tại vị trí \(A\left( {1;1;3} \right)\), trạm \(B\) đặt trên không tại vị trí \(B\left( {10;13;6} \right)\). Trên mặt đất người ta cần đặt hai trạm thu tín hiệu \(M\) và \(N\) sao cho khoảng cách giữa hai trạm thu là cố định: \(MN = 5\) và tổng chiều dài dây nối từ trạm \(A\) đến \(M\) và từ trạm \(B\) đến \(N\) là ngắn nhất. Khi đó, tổng hoành độ hai điểm \(M\) và \(N\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: 16.

Số cách chọn ngẫu nhiên 4 số từ 12 số và xếp vào các vòng tròn là \(n(\Omega ) = C_{12}^4.4 = 1980\) (vì chọn 4 số có \(C_{12}^4\) cách, sau đó chọn 1 trong 4 số đó đặt vào vòng tròn lớn có 4 cách, 3 số còn lại vào 3 vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí nên chỉ có 1 cách xếp).

Gọi số ở vòng tròn lớn là \(a\), và ba số ở vòng tròn nhỏ là \(x,y,z\) với \(x < y < z\).

Theo điều kiện bài toán ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}y + z < a\\x + y + z > a\end{array} \right. \Leftrightarrow y + z < a < x + y + z\).

Ta cần tìm các bộ số \((a;x,y,z)\) sao cho: \(y + z < a < x + y + z\).

Trường hợp 1: Nếu \[x = 1\] thì \(y + z < a < y + z + 1\) thì không tồn tại số \(a\) nguyên.

Trường hợp 2: Nếu \[x = 2\] thì

\[\left\{ \begin{array}{l}y + z < a < y + z + 2 \Rightarrow a = y + z + 1 \le 12 \Rightarrow y + z \le 11\\\min \left( {y + z} \right) = 7\end{array} \right. \Rightarrow 7 \le y + z \le 11\].

Suy ra có có 9 bộ thỏa mãn.

Trường hợp 3: Nếu \[x = 3\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}y + z < a < y + z + 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = y + z + 1 \le 12 \Rightarrow y + z \le 11\\a = y + z + 2 \le 12 \Rightarrow y + z \le 10\end{array} \right.\\\min \left( {y + z} \right) = 9\end{array} \right.\]

Trường hợp 3.1: \[a = y + z + 1\]. khi đó \[9 \le y + z \le 11 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y + z = 11\\y + z = 10\\y + z = 9\end{array} \right.\]

Suy ra có 4 bộ thỏa mãn.

Trường hợp 3.2: \[a = y + z + 2\]. khi đó \[9 \le y + z \le 10 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y + z = 10\\y + z = 9\end{array} \right.\]

Suy ra có 2 bộ thỏa mãn

Trường hợp 4: Nếu \[x = 4\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}y + z < a < y + z + 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = y + z + 1 \le 12 \Rightarrow y + z \le 11\\a = y + z + 2 \le 12 \Rightarrow y + z \le 10\\a = y + z + 3 \le 12 \Rightarrow y + z \le 9\end{array} \right.\\\min \left( {y + z} \right) = 11\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}11 \le y + z \le 11\\11 \le y + z \le 10\\11 \le y + z \le 9\end{array} \right. \Rightarrow y + z = 11\]

Suy ra có 1 bộ thỏa mãn.

Tổng số trường hợp thuận lợi là \(n(A) = 16\).

Xác suất \(P = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{16}}{{1980}}\).

Giá trị cần tìm là \(1980P = 1980.\frac{{16}}{{1980}} = 16\).

Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng.

a) Sau 2 giờ, tốc độ thay đổi nhiệt độ của lon sữa là \(T'\left( 2 \right) = 7 \cdot {e^{ - 0,35 \cdot 2}} = 7 \cdot {e^{ - 0,7}} \approx 3,48^\circ {\rm{C}}\)/giờ.

Vậy a) đúng.

b) Nhiệt độ lon sữa tính từ thời điểm lấy ra khỏi tủ lạnh cho đến khi lon sữa đạt nhiệt độ môi trường được tính bởi công thức:

\(T\left( t \right) = \int {T'\left( t \right)dt = \int {\left( {7 \cdot {e^{ - 0,35t}}} \right){\rm{d}}t = \frac{7}{{ - 0,35}}} } \,{e^{ - 0,35t}} + C = - 20{e^{ - 0,35t}} + C\);

\(T\left( 0 \right) = - 4 \Rightarrow - 20 \cdot {e^{ - 0,35 \cdot 0}} + C = - 4 \Rightarrow C = 16.\)

Vậy \(T\left( t \right) = \)\( - 20{e^{ - 0,35t}} + 16\).

Vậy b) sai.

c) Thời gian để lon sữa đạt nhiệt độ môi trường, tức là

\(T\left( t \right) = 10 \Rightarrow - 20{e^{ - 0,35t}} + 16 = 10 \Rightarrow {e^{ - 0,35t}} = \frac{3}{{10}} \Rightarrow t = \frac{1}{{ - 0,35}}\ln \left( {\frac{3}{{10}}} \right) \approx 3,44\).

Vậy c) đúng.

d) Ta có \(L\left( t \right) = \int {L'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {\left( {k \cdot {e^{ - 0,22t}}} \right){\rm{d}}t = \frac{k}{{ - 0,22}}\,} } {e^{ - 0,22t}} + C\),

\[L\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow \frac{k}{{ - 0,22}}{e^{ - 0,22 \cdot 0}} + C = 10 \Rightarrow C = 10 + \frac{k}{{0,22}}\].

Vậy \[L\left( t \right) = \frac{k}{{ - 0,22}}{e^{ - 0,22t}} + 10 + \frac{k}{{0,22}}\].

Khi đó \[L\left( {\frac{5}{{60}}} \right) = 70 \Rightarrow \frac{k}{{ - 0,22}}{e^{ - 0,22.\frac{5}{{60}}}} + 10 + \frac{k}{{0,22}} = 70 \Rightarrow k \approx 726,6 \Rightarrow k \in \left( {720;730} \right)\].

Vậy d) đúng.