Gọi \({a_1}{a_2}...{a_n}\) với \({a_i} \in \left\{ {2;0} \right\}\)là một xâu có độ dài \[n\]. Gọi xâu 20 là xâu OLIMPIC nếu 2 và 0 là hai phần tử liên tiếp theo thứ tự đó ở trong xâu có độ dài \[n\] đã cho (ví dụ như xâu 2220022 có độ dài là 7 và trong đó có 1 xâu OLIMPIC). Xét các xâu có độ dài 30 và chứa \[k\] xâu OLIMPIC, biết rằng có \(C_{31}^9\) xâu như thế. Tìm \[k\] (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Gọi H là số là xâu chứa toàn là số 2 có độ dài lớn hơn hay bằng 1.

Gọi K là số là xâu chứa toàn là số 0 có độ dài lớn hơn hay bằng 1.

Ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1. HKHKHK…HK (*) (có k xâu loại H, k xâu loại K).

Trường hợp 2. HKHKHK…HKH (có k + 1 xâu loại H, k xâu loại K).

Trường hợp 3. KHKHK…KHK (có k xâu loại H, k + 1 xâu loại K).

Trường hợp 4. KHKHK…KHKH (có k + 1 xâu loại H, k + 1 xâu loại K).

Xét trường hợp 1.

Gọi \({x_1}\) là số phần tử ở xâu H (H ở vị trí đầu tiên trong (*)), \({x_1} \ge 1\).

Gọi \({x_2}\) là số phần tử ở xâu K (K ở vị trí thứ hai trong (*)), \({x_2} \ge 1\).

…

Gọi \({x_{2k}}\) là số phần tử ở xâu K (K ở vị trí cuối trong (*)), \({x_{2k}} \ge 1\).

Ta có: \({x_1} + {x_2} + ... + {x_{2k}} = 30\).

Theo bài toán chia kẹo Euler: Số xâu có độ dài 30 và chứa k xâu OLIMPIC trong trường hợp 1 là \(C_{29}^{2k - 1}\).

Tương tự như vậy ta có các trường hợp còn lại và kết hợp với quy tắc cộng ta có:

\(C_{29}^{2k - 1} + C_{29}^{2k} + C_{29}^{2k} + C_{29}^{2k + 1} = C_{31}^9 \Leftrightarrow C_{31}^{2k + 1} = C_{31}^9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}9 = 2k + 1\\9 = 31 - \left( {2k + 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow k = 4\). Vậy \[k = 4\].