Gieo ngẫu nhiên xúc xắc một lần

a) Gọi \(A\) là tập hợp gồm các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của xúc xắc. Tính số phần tử của tập hợp \(A\).

b) Tính xác suất của mỗi biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số không chia hết cho 3”.

Xét \[\Delta AED\] và \[\Delta ACB\] có

\[\frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}}\] (chứng minh trên)

\[\widehat {BAC}\] chung,

Do đó $\Delta AED\backsim \Delta ACB$  (c.g.c)

Suy ra \[\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\] (hai góc tương ứng)

Mặc khác \[\widehat {ADE} + \widehat {EDC} = 180^\circ \] (hai góc kề bù)

Do đó \[\widehat {ADE} + \widehat {EDC} = \widehat {ABC} + \widehat {EDC} = 180^\circ \].

Vậy \[\widehat {ABC} + \widehat {EDC} = 180^\circ .\]

c) Vì $\Delta ABD\backsim \Delta ACE$  (câu a) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CE}}\) (tỉ số đồng dạng).

Mà \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \[BD\] và \[CE\] nên \[BD = 2BM\] và \[CE = 2CN.\]

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CE}} = \frac{{2BM}}{{2CN}} = \frac{{BM}}{{CN}}.\)

Xét \[\Delta ABM\] và \[\Delta ACN\] có:

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BM}}{{CN}}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (do cùng phụ với \(\widehat {BAC}\))

Do đó $\Delta ABM\backsim \Delta ACN$  (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {BAM} = \widehat {CAN}\] (hai góc tương ứng).

Lại có AK là tia phân giác của \(\widehat {MAN}\) (giả thiết).

Suy ra \[\widehat {MAK} = \widehat {NAK}\] (tính chất tia phân giác của một góc).

Do đó \[\widehat {BAM} + \widehat {MAK} = \widehat {CAN} + \widehat {NAK}\] hay \(\widehat {BAK} = \widehat {KAC}\).

Nên \[AK\] là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Theo tính chất tia phân giác của tam giác ta có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{KB}}{{KC}}\).

Do đó \[KB \cdot AC = KC \cdot AB\] (điều phải chứng minh).