Một hộp có 30 thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\, \ldots \,;\,\,29\,;\,\,30;\] hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Xác suất của biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho cả 2 và 5” là

Xét \[\Delta AED\] và \[\Delta ACB\] có

\[\frac{{AD}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}}\] (chứng minh trên)

\[\widehat {BAC}\] chung,

Do đó $\Delta AED\backsim \Delta ACB$  (c.g.c)

Suy ra \[\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\] (hai góc tương ứng)

Mặc khác \[\widehat {ADE} + \widehat {EDC} = 180^\circ \] (hai góc kề bù)

Do đó \[\widehat {ADE} + \widehat {EDC} = \widehat {ABC} + \widehat {EDC} = 180^\circ \].

Vậy \[\widehat {ABC} + \widehat {EDC} = 180^\circ .\]

c) Vì $\Delta ABD\backsim \Delta ACE$  (câu a) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CE}}\) (tỉ số đồng dạng).

Mà \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \[BD\] và \[CE\] nên \[BD = 2BM\] và \[CE = 2CN.\]

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CE}} = \frac{{2BM}}{{2CN}} = \frac{{BM}}{{CN}}.\)

Xét \[\Delta ABM\] và \[\Delta ACN\] có:

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BM}}{{CN}}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (do cùng phụ với \(\widehat {BAC}\))

Do đó $\Delta ABM\backsim \Delta ACN$  (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {BAM} = \widehat {CAN}\] (hai góc tương ứng).

Lại có AK là tia phân giác của \(\widehat {MAN}\) (giả thiết).

Suy ra \[\widehat {MAK} = \widehat {NAK}\] (tính chất tia phân giác của một góc).

Do đó \[\widehat {BAM} + \widehat {MAK} = \widehat {CAN} + \widehat {NAK}\] hay \(\widehat {BAK} = \widehat {KAC}\).

Nên \[AK\] là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Theo tính chất tia phân giác của tam giác ta có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{KB}}{{KC}}\).

Do đó \[KB \cdot AC = KC \cdot AB\] (điều phải chứng minh).