Một hộp chứa các viên bi màu trắng và đen có kích thước và khối lượng như nhau. Mai lấy ra ngẫu nhiên từ một hộp, xem màu rồi trả lại hộp. Lặp lại thử nghiệm đó 80 lần, Mai thấy có 24 lần lấy được viên bi màu trắng.

a) Hãy tính xác suất thực nghiệm của biến cố "Lấy được viên bi màu đen" sau 80 lần thử.

b) Biết tổng số bi trong hộp là 10, hãy ước lượng xem trong hộp có khoảng bao nhiêu viên bi trắng.

Hướng dẫn giải

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: \[132:2 = 66\]\[\left( m \right)\].

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \[x\]\[\left( m \right)\]. Điều kiện \[0 < x < 66\]

Chiều rộng của hình chữ nhật là \[66 - x\] \[\left( m \right)\].

Diện tích của hình chữ nhật là \[x\left( {66 - x} \right)\] \[\left( {{m^2}} \right)\]

Chiều dài của hình chữ nhật sau khi tăng là \[x + 8\] \[\left( m \right)\].

Chiều rộng của hình chữ nhật sau khi giảm là: \[66 - x - 4 = 62 - x\] \[\left( m \right)\].

Diện tích của hình chữ nhật lúc sau là: \[\left( {x + 8} \right)\left( {62 - x} \right)\]\[\left( {{m^2}} \right)\]

Theo đề bài, ta có phương trình:

\[\left( {x + 8} \right)\left( {62 - x} \right) = x\left( {66 - x} \right) + 52\]

\[ - {x^2} + 54x + 496 =  - {x^2} + 66x + 52\]

\[66x - 54x = 496 - 52\]

\[12x = 444\]

\(x = 37\) (thỏa mãn)  

Chiều rộng của hình chữ nhật là \[66 - 37 = 29\] \[\left( m \right)\].

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là \[37\,\,m\] và \[29\,\,m\].

Hướng dẫn giải

Ta có \[{x^2}\; + xy - 2y - x - 5 = 0\] nên \[y\left( {x - 2} \right) = - {x^2} + x + 5 & \left( * \right)\]

• Với \(x = 2\) thì \(0 = 3\) (vô lí)

• Với \(x \ne 2\) thì \[y = \frac{{ - {x^2} + x + 5}}{{x - 2}} = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 2}} + \frac{3}{{x - 2}} = - x - 1 + \frac{3}{{x - 2}}.\]

Để \(y\) nguyên thì \[3\,\, \vdots \,\,\left( {x - 2} \right)\] nên \[\left( {x - 2} \right) \in \] Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 3\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\,3} \right\}\).

Ta có bảng sau:

Vậy phương trình có nghiệm là: \[\left( {x\,,\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {3\,,\,\, - 1} \right)\,\,;\,\,\left( {5\,,\,\, - 5} \right)\,\,;\,\,\left( {1\,,\,\, - 5} \right)\,\,;\,\,\left( { - 1\,,\,\, - 1} \right)} \right\}\].