Lập phương trình chính tắc của elip, biết Elip có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông có diện tích bằng 32.

Từ phương trình chính tắc của hypebol (H) ta có \(a = 4,b = 3,c = 5\).

Hypebol \((H)\) có tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2c = 10\).

Gọi \(N\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm. Ta có \(N \in (H)\) nên \(\frac{{x_0^2}}{{16}} - \frac{{y_0^2}}{9} = 1.\quad \) (1)

Theo đề bài, ta có \(\Delta N{F_1}{F_2}\) vuông tại \(N\), có \(O\) là trung điểm của \({F_1}{F_2}\) (với \(O\) là gốc tọa độ) nên \(ON = \frac{{{F_1}{F_2}}}{2} = c = 5 \Rightarrow O{N^2} = 25 \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 = 25 \Rightarrow y_0^2 = 25 - x_0^2\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được

\(\frac{{x_0^2}}{{16}} - \frac{{25 - x_0^2}}{9} = 1 \Leftrightarrow 9x_0^2 - 400 + 16x_0^2 = 144 \Leftrightarrow 25x_0^2 = 544 \Leftrightarrow x_0^2 = \frac{{544}}{{25}}\)

\( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{4\sqrt {34} }}{5}\) hoặc \({x_0} = \frac{{ - 4\sqrt {34} }}{5}.\)

Từ đó tính được \(y_0^2 = \frac{{81}}{{25}} \Rightarrow {y_0} = \frac{9}{5}\) hoặc \({y_0} = \frac{{ - 9}}{5}\).

Vậy có bốn điểm \(N\) thoả yêu cầu bài toán là:

\(\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right),\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right)\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, gọi phương trình chính tắc elip là \((E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0,y \ge 0)\). Ta có \(:2a = 20 \Rightarrow a = 10,b = 8\).

Vậy phương trình elip mô tả nhà vòm là \((E):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1(y \ge 0)\).

Gọi \(M\) là điểm thuộc \((E)\) có hoành độ bằng 5 (hoặc \( - 5\) ), chiều cao cần tìm chính là tung độ của điểm \(M\).

Thay hoành độ \(M\) vào phương trình \((E):\frac{{{{( \pm 5)}^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

\( \Rightarrow {y^2} = 48 \Rightarrow y = 4\sqrt 3  \approx 6,928\;m.\)