Trước một tòa nhà, người ta làm một cái hồ bơi có dạng hình elip với độ dài hai bán trục lần lượt là \(3m\) và \(5m\). Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\)(đơn vị trên các trục là mét) có hai trục tọa độ chứa hai trục của elip, gốc tọa độ \(O\) là tâm của elip (hình)

Khi đó:

a) Phương trình chính tác của đường elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

b) Ta có: \(a = 5,b = 3\) nên \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16\), suy ra \(c = 4\).

Các tiêu điểm của elip có toạ độ là \(( - 4;0)\) và \((4;0)\).

Vậy \(M\) và \(N\) chính là các tiêu điểm của elip. Vì vậy, tổng khoảng cách từ mọi điểm trên đường elip đến \(M\) và \(N\) luôn bằng \(2a = 10\;m\) không đổi.

c) Gọi giao điểm của đường thẳng \(OP\) và elip là \(Q\).

Vì độ dài bán trục lớn là \(5\;m\) nên \(OQ \le 5\). Suy ra \(OQ < OP = 6\;m\).

Vậy vị trí \(P\) ở ngoài hồ.

d) Giả sử \(C\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{{y_0^2}}{9} = 1}\\{|{y_0}| = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{4}{9} = 1}\\{|{y_0}| = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{x_0}} \right| = \frac{{5\sqrt 5 }}{3}}\\{\left| {{y_0}} \right| = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(C\) cách trục nhỏ một khoảng bằng \(\frac{{5\sqrt 5 }}{3}\;m\).