Trước một tòa nhà, người ta làm một cái hồ bơi có dạng hình elip với độ dài hai bán trục lần lượt là \(3m\) và \(5m\). Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\)(đơn vị trên các trục là mét) có hai trục tọa độ chứa hai trục của elip, gốc tọa độ \(O\) là tâm của elip (hình)

Khi đó:

Từ phương trình chính tắc của hypebol (H) ta có \(a = 4,b = 3,c = 5\).

Hypebol \((H)\) có tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2c = 10\).

Gọi \(N\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm. Ta có \(N \in (H)\) nên \(\frac{{x_0^2}}{{16}} - \frac{{y_0^2}}{9} = 1.\quad \) (1)

Theo đề bài, ta có \(\Delta N{F_1}{F_2}\) vuông tại \(N\), có \(O\) là trung điểm của \({F_1}{F_2}\) (với \(O\) là gốc tọa độ) nên \(ON = \frac{{{F_1}{F_2}}}{2} = c = 5 \Rightarrow O{N^2} = 25 \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 = 25 \Rightarrow y_0^2 = 25 - x_0^2\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được

\(\frac{{x_0^2}}{{16}} - \frac{{25 - x_0^2}}{9} = 1 \Leftrightarrow 9x_0^2 - 400 + 16x_0^2 = 144 \Leftrightarrow 25x_0^2 = 544 \Leftrightarrow x_0^2 = \frac{{544}}{{25}}\)

\( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{4\sqrt {34} }}{5}\) hoặc \({x_0} = \frac{{ - 4\sqrt {34} }}{5}.\)

Từ đó tính được \(y_0^2 = \frac{{81}}{{25}} \Rightarrow {y_0} = \frac{9}{5}\) hoặc \({y_0} = \frac{{ - 9}}{5}\).

Vậy có bốn điểm \(N\) thoả yêu cầu bài toán là:

\(\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right),\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right)\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, gọi phương trình chính tắc elip là \((E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0,y \ge 0)\). Ta có \(:2a = 20 \Rightarrow a = 10,b = 8\).

Vậy phương trình elip mô tả nhà vòm là \((E):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1(y \ge 0)\).

Gọi \(M\) là điểm thuộc \((E)\) có hoành độ bằng 5 (hoặc \( - 5\) ), chiều cao cần tìm chính là tung độ của điểm \(M\).

Thay hoành độ \(M\) vào phương trình \((E):\frac{{{{( \pm 5)}^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

\( \Rightarrow {y^2} = 48 \Rightarrow y = 4\sqrt 3  \approx 6,928\;m.\)