Trước một tòa nhà, người ta làm một cái hồ bơi có dạng hình elip với độ dài hai bán trục lần lượt là \(3m\) và \(5m\). Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\)(đơn vị trên các trục là mét) có hai trục tọa độ chứa hai trục của elip, gốc tọa độ \(O\) là tâm của elip (hình)

Khi đó:

Gọi phương trình chính tắc của elip \((E)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,{a^2} = {b^2} + {c^2}(a,b,c > 0)\).

Hai đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông nên \(b = c\).

Mặt khác, diện tích hình vuông bằng 32 nên \(2c.2b = 32 \Leftrightarrow {b^2} = 8\).

Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 16\).

Vậy Elip cần tìm có phương trình chính tắc \((E):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).

Ta có \({a^2} = 4 \Rightarrow a = 2;{b^2} = 1 \Rightarrow b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 3  \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2\sqrt 3 \).

Gọi \(M(x;y) \in (E)\) thì \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x,M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\).

Ta có: $F_1{F}_2^2=M{F}_1^2+M{F}_2^2-2M{F}_1\cdot M{F}_2\cdot \cos {60}^{°}$

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(2\sqrt 3 )^2} = {\left( {2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)^2} + {\left( {2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)^2} - 2\left( {2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)\left( {2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right) \cdot \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 12 = 4 + 2\sqrt 3 x + \frac{3}{4}{x^2} + 4 - 2\sqrt 3 x + \frac{3}{4}{x^2} - \left( {4 - \frac{3}{4}{x^2}} \right) \Leftrightarrow 8 = \frac{9}{4}{x^2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\end{array}\)

Thay vào \((E)\), ta được: \(\frac{{32}}{{9.4}} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow y =  \pm \frac{1}{3}\).

Vậy có bốn điểm \(M\) thỏa mãn là: \(\left( { \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3};\frac{1}{3}} \right),\left( { \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\).