Đề kiểm tra Ba đường conic (có lời giải) - Đề 2

Từ phương trình Elip ta có: \[{a^2} = 9,{b^2} = 6\] \[ \Rightarrow {c^2} = 3\] \[ \Rightarrow c = \sqrt 3 \].

\[ \Rightarrow \] Tiêu cự bằng \[2c = 2\sqrt 3 \].

Chọn A

Gọi (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{  ( a  >  b  > 0 )}}\)

Theo giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}ab = 3\sqrt 5 \\{a^2} - {b^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 5\end{array} \right.\)

Vậy (E) cần tìm là \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1.\).

Phương trình chính tắc của Elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\)

Độ dài trục bé là \(2b = 8 \Rightarrow b = 4\)

Tiêu cự \(2c = 4 \Rightarrow c = 2\). Mà \({c^2} = {a^2} - {b^2} \Rightarrow {a^2} = 4 + 16 = 20\)

Vậy phương trình chính tắc của Elip là \(\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Xét đáp án A:

Ta thay \(A\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\) vào\[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\] ta được:

\[\frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1\].

Giả sử \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) do \(A,B\)đối xứng nhau qua \(Ox\)nên \(B\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)\).

Ta có: \(A{B^2} = 4{y^2}_0\)và \(A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2\).

Vì \(A \in \left( E \right)\)nên \(\frac{{{x_0}^2}}{4} + \frac{{{y_0}^2}}{1} = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - \frac{{{x_0}^2}}{4}\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(AB = AC\)nên \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2\) \(\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được \(7x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = \frac{2}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_0} = 0\\{y_0} =  \pm \frac{{4\sqrt 3 }}{7}\end{array} \right.\)

Vì \(A \ne C\)và \(A\)có tung độ dương nên \[A\left( {\frac{2}{7};\frac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)v\`a \] \[B\left( {\frac{2}{7};\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{7}} \right)\].

Thay \(x = 4\) vào phương trình hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\) ta được \(\frac{{{4^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Rightarrow y = 0\).

Ta có câu C là đáp án đúng.

Ta có \({a^2} = 16\), \({b^2} = 9\), nên \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {16 + 9}  = 5\).

Vậy hypebol có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\) và \({F_2}\left( {5;0} \right)\).

Chọn A

Phương trình chính tắc hypebol \(\left( H \right)\)có dạng\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\;\left( {a > 0,\;b > 0} \right)\)\(\)