Cho elip \((E)\) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)\), đi qua hai điểm \(M(5;\sqrt 2 )\) và \(N(0;2)\). Khi đó:

a) Phương trình chính tác của đường elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

b) Ta có: \(a = 5,b = 3\) nên \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16\), suy ra \(c = 4\).

Các tiêu điểm của elip có toạ độ là \(( - 4;0)\) và \((4;0)\).

Vậy \(M\) và \(N\) chính là các tiêu điểm của elip. Vì vậy, tổng khoảng cách từ mọi điểm trên đường elip đến \(M\) và \(N\) luôn bằng \(2a = 10\;m\) không đổi.

c) Gọi giao điểm của đường thẳng \(OP\) và elip là \(Q\).

Vì độ dài bán trục lớn là \(5\;m\) nên \(OQ \le 5\). Suy ra \(OQ < OP = 6\;m\).

Vậy vị trí \(P\) ở ngoài hồ.

d) Giả sử \(C\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{{y_0^2}}{9} = 1}\\{|{y_0}| = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{4}{9} = 1}\\{|{y_0}| = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{x_0}} \right| = \frac{{5\sqrt 5 }}{3}}\\{\left| {{y_0}} \right| = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(C\) cách trục nhỏ một khoảng bằng \(\frac{{5\sqrt 5 }}{3}\;m\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, gọi phương trình chính tắc elip là \((E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0,y \ge 0)\). Ta có \(:2a = 20 \Rightarrow a = 10,b = 8\).

Vậy phương trình elip mô tả nhà vòm là \((E):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1(y \ge 0)\).

Gọi \(M\) là điểm thuộc \((E)\) có hoành độ bằng 5 (hoặc \( - 5\) ), chiều cao cần tìm chính là tung độ của điểm \(M\).

Thay hoành độ \(M\) vào phương trình \((E):\frac{{{{( \pm 5)}^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

\( \Rightarrow {y^2} = 48 \Rightarrow y = 4\sqrt 3  \approx 6,928\;m.\)