Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\) biết rằng chu vi của hình chữ nhật cơ sở bằng 20 và \(\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

(C) có tâm \(I(2;2),R = 2\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M(4;6)\).

\(\Delta \) có dạng \(Ax + By - 4A - 6B = 0\)

\(\Delta \) là tiếp tuyến của \((C) \Rightarrow d[I,\Delta ] = R\)

\( \Leftrightarrow \frac{{|2A + 2B - 4A - 6B|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 2 \Leftrightarrow |2A + 4B| = 2\sqrt {{A^2} + {B^2}} \)\(\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{A^2} + 16{B^2} + 16AB = 4{A^2} + 4{B^2} \Leftrightarrow 12{A^2} + 16AB = 0 \Leftrightarrow 4B(3B + 4A) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{B = 0}\\{B = \frac{{4A}}{3}}\end{array}{\rm{.  }}} \right.\end{array}\)

Chọn \(A = 3 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{B = 0}\\{B = 4}\end{array}.} \right.\)

Vậy \(A = 3,B = 0 \Rightarrow \left( {{\Delta _1}} \right):x - 4 = 0;A = 3,B = 4 \Rightarrow \left( {{\Delta _2}} \right):3x + 4y + 12 = 0\).

Ta có \((C)\): \({x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0\) có tâm \(I(1;3)\), bán kính \(R = 2\) \(IM = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{(4 - 3)}^2}}  = \sqrt 2  < 2 = R\).

Vậy \(M\) nằm trong đường tròn \((C)\).

Vì \(M\) là trung điểm đoạn \(AB\) nên

\(AB \bot IM\)

Vi \(AB \bot IM \Rightarrow \) Vectơ pháp tuyến của \(AB\) là \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \overrightarrow {IM}  = (1;1)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(1(x - 2) + 1(y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + y - 6 = 0.{\rm{ }}\)