Cho parabol \((P)\) có phương trình \({y^2} = 12x\). Khi đó:

a) Ta có: \(p = 6 \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{6}{2} = 3\). Vậy \((P)\) có tiêu điểm \(F(3;0)\), đường chuẩn \(x =  - 3\).

b) Gọi \(M\) là điểm trên \((P)\) có hoành độ \(x = 2 \Rightarrow MF = {x_M} + \frac{p}{2} = 2 + 3 = 5\)

c) Đường thẳng đi qua \(F(3;0)\) và vuông góc với trục đối xứng có dạng: \(x = 3(d)\).

Tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{{y^2} = 12x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y =  \pm 6}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \((d)\) cắt \((P)\) tại \(M(3; - 6),N(3;6) \Rightarrow MN = \sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(6 + 6)}^2}}  = 12\).

d) Phương trình đường thẳng đi qua \(I(2;0)\) có dạng: \(A(x - 2) + B(y - 0) = 0\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right) \Leftrightarrow Ax + By - 2A = 0(d)\)

Tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{Ax + By - 2A = 0(1)}\\{{y^2} = 12x(2)}\end{array}(*)} \right.\)

(2) \( \Leftrightarrow x = \frac{{{y^2}}}{{12}}\)

Thế vào (1) ta được \(A\frac{{{y^2}}}{{12}} + By - 2A = 0 \Leftrightarrow A{y^2} + 12By - 24A = 0\)

Do \({\Delta ^\prime } = 36{B^2} + 24{A^2} > 0,\forall {A^2} + {B^2} \ne 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi \({y_A}\) và \({y_B}\) là nghiệm của phương trình trên nên \(d(A;Ox) \cdot d(B;Ox) = \left| {{y_A} \cdot {y_B}} \right| = 24\) (không đổi).