Hình vẽ bên dưới mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí \(I\) có tọa độ \(( - 2;1)\) trong mặt phẳng toạ độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét). Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ \(( - 3;4)\) di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng \(3\;km\).

a) Đường tròn \((C)\) có tâm \(I( - 2; - 3)\) bán kính \(R = 5\).

b) Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) là: \((1 + 2)(x - 1) + (1 + 3)(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 7 = 0.\)

c) Vì \(\Delta \) nhận  là vectơ pháp tuyến mà \({\Delta ^\prime } \bot \Delta \) nên có thể lấy vectơ pháp tuyến của \({\Delta ^\prime }\) là \(\vec m = (4; - 3)\). Suy ra phương trình \({\Delta ^\prime }\) có dạng: \(4x - 3y + c = 0\).

Để \({\Delta ^\prime }\) là tiếp tuyến của \((C)\) thì \(d\left( {I,{\Delta ^\prime }} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{|4 \cdot ( - 2) - 3 \cdot ( - 3) + c|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 3)}^2}} }} = 5 \Leftrightarrow |c + 1| = 25.{\rm{ }}\)

Vậy \(c = 24\) hoặc \(c =  - 26\) nên có hai trường hợp của phương trình \({\Delta ^\prime }\) là: \(4x - 3y + 24 = 0\) hoặc \(4x - 3y - 26 = 0.\)

(C) có tâm \(I(2;2),R = 2\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M(4;6)\).

\(\Delta \) có dạng \(Ax + By - 4A - 6B = 0\)

\(\Delta \) là tiếp tuyến của \((C) \Rightarrow d[I,\Delta ] = R\)

\( \Leftrightarrow \frac{{|2A + 2B - 4A - 6B|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 2 \Leftrightarrow |2A + 4B| = 2\sqrt {{A^2} + {B^2}} \)\(\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{A^2} + 16{B^2} + 16AB = 4{A^2} + 4{B^2} \Leftrightarrow 12{A^2} + 16AB = 0 \Leftrightarrow 4B(3B + 4A) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{B = 0}\\{B = \frac{{4A}}{3}}\end{array}{\rm{.  }}} \right.\end{array}\)

Chọn \(A = 3 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{B = 0}\\{B = 4}\end{array}.} \right.\)

Vậy \(A = 3,B = 0 \Rightarrow \left( {{\Delta _1}} \right):x - 4 = 0;A = 3,B = 4 \Rightarrow \left( {{\Delta _2}} \right):3x + 4y + 12 = 0\).