Tìm hệ số của \({x^3}{y^2}\) trong khai triển thành đa thức của biểu thức \({(x - 2y)^5}\).

Gọi \(A\) là số dân ban đầu, \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, \({A_n}\) là số dân của tỉnh đó sau \(n\) năm. Khi đó: \({A_n} = A{(1 + r)^n}\).

Theo giả thiết: \(1,2 = {\left( {1 + \frac{5}{{100}}} \right)^n}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1,2 = \left[ {C_n^0 + C_n^1 \cdot \left( {\frac{5}{{100}}} \right) + C_n^2 \cdot {{\left( {\frac{5}{{100}}} \right)}^2} +  \ldots  + C_n^{n - 1} \cdot {{\left( {\frac{5}{{100}}} \right)}^{n - 1}}} \right.\\ \Leftrightarrow 1,2 \approx C_n^0 + C_n^1 \cdot \frac{5}{{100}} \Leftrightarrow 1,2 \approx 1 + 0,05n \Leftrightarrow n \approx 4.{\rm{ }}\end{array}\)

Ta có: \({\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5} = {\left[ {(1 + x) + {x^2}(1 + x)} \right]^5} = {\left[ {(1 + x) \cdot \left( {1 + {x^2}} \right)} \right]^5} = {(1 + x)^5}.{\left( {1 + {x^2}} \right)^5}\).

Xét khai triển \({(1 + x)^5} \cdot {\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k} \cdot \sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l} {x^{2l}} = \sum\limits_{k = 0}^5 {\left( {C_5^k \cdot \sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l}  \cdot {x^{k + 2l}}} \right)} \),

Số hạng chứa \({x^{10}}\) tương ứng với \(k,l\) thỏa mãn \(k + 2l = 10 \Leftrightarrow k = 10 - 2l\).

Kết hợp với điều kiện, ta có hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 10 - 2l}\\{0 \le k \le 5,k \in N}\\{0 \le l \le 5,l \in N}\end{array} \Leftrightarrow (k,l) \in \{ (0;5),(2;4),(4;3)\} } \right.\).

Vậy hệ số của \({x^{10}}\) bằng tổng các \(C_5^k \cdot C_5^l\) thỏa mãn

\(C_5^0 \cdot C_5^5 + C_5^2 \cdot C_5^4 + C_5^4 \cdot C_5^3 = 101.\)