Đề kiểm tra Nhị thức Newton (có lời giải) - Đề 2

Cách 1:

Ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {1 - 7x} \right)^4} = {\left( {7x - 1} \right)^4} = C_4^0{\left( {7x} \right)^4} - C_4^1{\left( {7x} \right)^3} + C_4^2{\left( {7x} \right)^2} - C_4^3{\left( {7x} \right)^1} + C_4^4\\ = {1.7^4}.{x^4} - {4.7^3}.{x^3} + {6.7^2}.{x^2} - 4.7.x + 1\\ = 2401{x^4} - 1372{x^3} + 294{x^2} - 28x + 1.\end{array}\)

Tổng các hệ số trong khai triển là:\(S = {2401.1^4} - {1372.1^3} + {294.1^2} - 28.1 + 1 = 1296.\)

Cách 2:

Thế \(x = 1\)\( \Rightarrow S = {\left( {1 - 7.1} \right)^4} = {6^4} = 1296\).

Ta có \(P\left( x \right) = {(2x + 3)^4} = C_4^0{\left( {2x} \right)^4} + C_4^1{\left( {2x} \right)^3}.3 + C_4^2{\left( {2x} \right)^2}{.3^2} + C_4^3{\left( {2x} \right)^1}{.3^3} + C_4^4{.3^4}\)

\[ = 16{x^4} + 96{x^3} + 216{x^2} + 216x + 81\].

Vậy \({a_2} + {a_3} = 96 + 216 = 312\).

Ta có:

\({\left( {2{x^2} - 3} \right)^5} = C_5^0{\left( {2{x^2}} \right)^5} - C_5^1{\left( {2{x^2}} \right)^4}{\left( 3 \right)^1} + C_5^2{\left( {2{x^2}} \right)^3}{\left( 3 \right)^2} - C_5^3{\left( {2{x^2}} \right)^2}{\left( 3 \right)^3} + C_5^4{\left( {2{x^2}} \right)^1}{\left( 3 \right)^4} - C_5^5{\left( 3 \right)^5}\)

Số hạng chứa \({x^6}\) trong khai triển trên là \(a = C_5^2{\left( {2{x^2}} \right)^3}{.3^2} = 720.{x^6}\).

Vậy số hạng chứa \({x^7}\) khi khai triển đa thức \(P\left( x \right)\) là \(22x.\,a = 15840{x^7}\).

Theo công thức nhị thức Newton, ta có

\[\begin{array}{l}{\left( {3{x^3} - 2} \right)^5}\\ = C_5^0{\left( {3{x^3}} \right)^5} + C_5^1{\left( {3{x^3}} \right)^4}\left( { - 2} \right) + C_5^2{\left( {3{x^3}} \right)^3}{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3{\left( {3{x^3}} \right)^2}{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4{\left( {3{x^3}} \right)^1}{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5{\left( { - 2} \right)^5}\end{array}\]

Xét khai triển \[{\left( {1 + x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1.x + C_5^2.{x^2} + C_5^3.{x^3} + C_5^4.{x^4} + \,C_5^5.{x^5}\].

Với \(x =  - 1\) ta có \[{\left( {1 - 1} \right)^5} = C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5\].

Vậy \(S = 0\).