Cho một đa giác đều gồm \(2n\) đỉnh \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\). Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số \(2n\) đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là \(\frac{1}{5}\). Tìm \(n\)

Xét phép thử: “Xếp \(5\) học sinh nam và \(10\) học sinh nữ thành một hàng ngang”

\( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 15!\).

Gọi biến cố \(X\): “Mỗi bạn nam đều đứng giữa hai bạn nữ đồng thời Vy, Quyên, Lan luôn đứng cạnh nhau”.

Bước 1: Xếp Vy, Quyên, Lan đứng cạnh nhau có \(3!\) cách.

Bước 2: Xếp Vy, Quyên, Lan và \(7\) bạn còn lại vào \(8\) vị trí có \(8!\) cách.

Bước 3: Chọn \(5\) khoảng trống trong \(7\) khoảng trống giữa \(8\) vị trí ở bước 2 cho \(5\) bạn nam có \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow n\left( X \right) = 3!8!A_7^5\).

Vậy xác suất của biến cố \(X\) là \(p(X) = \frac{{3!8!A_7^5}}{{15!}} = \frac{1}{{2145}}\).

Xác suất sinh ra bé trai là \(p \approx \frac{{105}}{{100 + 105}} = \frac{{21}}{{41}}\).

Gọi \(A\) là biến cố “Hai đứa trẻ sinh ra có cùng giới tính”.

+ TH1: Xác suất hai đứa trẻ sinh ra đều là bé trai là \(p.p = {p^2}\).

+ TH2: Xác suất hai đứa trẻ sinh ra đều là bé gái là \(\left( {1 - p} \right).\left( {1 - p} \right) = {\left( {1 - p} \right)^2}\).

Suy ra xác suất 2 đứa trẻ sinh ra có cùng giới tính là \(p\left( A \right) = {p^2} + {\left( {1 - p} \right)^2} \approx 0,5003\).