Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 10, khi đó:

Xét phép thử: “Xếp \(5\) học sinh nam và \(10\) học sinh nữ thành một hàng ngang”

\( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 15!\).

Gọi biến cố \(X\): “Mỗi bạn nam đều đứng giữa hai bạn nữ đồng thời Vy, Quyên, Lan luôn đứng cạnh nhau”.

Bước 1: Xếp Vy, Quyên, Lan đứng cạnh nhau có \(3!\) cách.

Bước 2: Xếp Vy, Quyên, Lan và \(7\) bạn còn lại vào \(8\) vị trí có \(8!\) cách.

Bước 3: Chọn \(5\) khoảng trống trong \(7\) khoảng trống giữa \(8\) vị trí ở bước 2 cho \(5\) bạn nam có \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow n\left( X \right) = 3!8!A_7^5\).

Vậy xác suất của biến cố \(X\) là \(p(X) = \frac{{3!8!A_7^5}}{{15!}} = \frac{1}{{2145}}\).

a) Xét số tự nhiên có ba chữ số dạng \(\overline {abc} \). Số cách chọn \(a(a\) khác 0\()\) và \(b,c\) lần lượt là \(9,10,10\) nên số các số tự nhiên gồm ba chữ số là \(9.10.10 = 900\).

Phép thử đang xét là hoạt động chọn ngẫu nhiên một số từ \(S\) nên số kết quả thuận lợi không gian mẫu là \(n(\Omega ) = C_{900}^1 = 900\).

b) Xét số tự nhiên có ba chữ số dạng \(\overline {abc} \).

Chọn \(a(a \ne 0)\): có 9 cách. Chọn \(b(b \ne a)\): có 9 cách.

Chọn \(c(c \ne a,c \ne b)\): có 8 cách.

Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau là \(9.9.8 = 648\).

Vì vậy \(n(A) = 648\).

c) Xét số tự nhiên có ba chữ số dạng \(\overline {abc} \).

Số này chia hết cho 5 nên \(c \in \{ 0;5\} \): có 2 cách chọn \(c\).

Số cách chọn \(a(a\) khác 0\(),b\) lần lượt là 9,10.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là \(2.9.10 = 180\).

Vì vậy \(n(B) = 180\).

d) Xét số tự nhiên có ba chữ số dạng \(\overline {abc} \).

Số này là số chẵn vậy \(a\) có 9 cách chọn, \(b\) có 10 cách chọn, \(c\) có 5 cách chọn

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là \(9.10.5 = 450\).