Trong không gian \(Oxyz\) cho \(\Delta ABC\) có điểm \(A\left( {3;1; - 2} \right),B\left( { - 3; - 1;2} \right),C\left( { - 1;0; - 1} \right)\). Gọi \(BD\) là đường phân giác trong của \(\Delta ABC\). Xác định tọa độ điểm \(D\)?    

Theo tính chất đường phân giác trong ta có: \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6; - 2;4} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt {14} \); \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2;1; - 3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {14} \)

\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{2\sqrt {14} }}{{\sqrt {14} }} = 2\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DA}  =  - 2\overrightarrow {DC} \).

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DA}  = \left( {3 - x;1 - y; - 2 - z} \right)\); \(\overrightarrow {DC}  = \left( { - 1 - x; - y; - 1 - z} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {DA}  =  - 2\overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - x = 2 + 2x}\\{1 - y = 2y}\\{ - 2 - z = 2 + 2z}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{3}}\\{y = \frac{1}{3}}\\{z = \frac{{ - 4}}{3}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy điểm \(D\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)\). Chọn B.