Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m >  - 50\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 7} }}{{{x^2} + 2x + 2m}}\) có đúng hai đường tiệm cận?

Hàm số xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 7}\\{{x^2} + 2x + 2m \ne 0}\end{array}} \right.\)

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}y=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\left(\frac{\sqrt{x+7}}{x^2+2x+2m}\right)=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Hàm số không có tiệm cận xiên.

Suy ra để hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phương trình \({x^2} + 2x + 2m = 0\) có đúng 1 nghiệm lớn hơn  −7 (1)

Xét (1): \({x^2} + 2x + 2m = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{2}{x^2} - x\)

Đặt \(f\left( x \right) =  - \frac{1}{2}{x^2} - x\)

Để phương trình \({x^2} + 2x + 2m = 0\) có đúng 1 nghiệm lớn hơn −7 thì đường thẳng \(y = m\) giao đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) tại đúng 1 điểm có hoành độ lớn hơn −7 (2).

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - x - 1\)

\(f'\left( x \right) = 0{\rm{\;}} \Rightarrow x =  - 1\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (2) \( \Leftrightarrow m \le  - 17,5\)

Mà \(m >  - 50,m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 49; - 48; - 47; \ldots ; - 18} \right\}\)

Vậy có \(32\) giá trị\(m\)thỏa mãn. Chọn D.