Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 2025;2025} \right)\) để hàm số: \(y = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x - 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{cos}}2x - m{\rm{cos}}x - 1\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)(nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Xét hàm số: \(y = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x - 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\rm{cos}}2x - m{\rm{cos}}x - 1\)

\( \Rightarrow y = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x - 3\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right) + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 1 - m{\rm{cos}}x - 1\)

\(y = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x + 5{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - m{\rm{cos}}x - 5\).

Đặt \(t = {\rm{cos}}x \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow y = {t^3} + 5{t^2} - mt - 5\).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) hàm số \(y = {t^3} + 5{t^2} - mt - 5\) đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\)

Ta có: \(y' = 3{t^2} + 10t - m\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\) thì \(y' \ge 0,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)

\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 10t - m \ge 0,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)

\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 10t \ge m,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)

 $\Rightarrow m\le \underset{\left[0;1\right]}{\text{min}}\left(3t^2+10t\right)$

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 3{t^2} + 10t,f'\left( t \right) = 6t + 10 \Rightarrow t = \frac{{ - 5}}{3} \notin \left[ {0;1} \right]\)

\(f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = 13\)

Vậy $\underset{\left[0;1\right]}{\text{min}}f\left(t\right)=0\Rightarrow m\le 0$                    

Kết hợp với yêu cầu bài toán \( \Rightarrow m \in \left( { - 2025;0} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 2024; - 2023; \ldots ;0} \right\}\)

Vậy có 2025 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: \(2025\).