Cho hai điểm \(P\left( {1;6} \right),\,\,Q\left( { - 3; - 4} \right)\) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}:2x - y - 1 = 0\). Gọi \(M \in {\rm{\Delta }}\) là điểm sao cho \(MP + MQ\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tung độ của điểm \(M\) (nhập đáp án vào ô trống).
____
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(P'\) là điểm đối xứng của \(P\) qua đường thẳng \({\rm{\Delta }}\).
Ta có vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) là \(\overrightarrow {{n_{\rm{\Delta }}}} = \left( {2; - 1} \right)\).
Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(PP'\) là \(\overrightarrow {{n_{PP'}}} = \left( {1;2} \right)\).
Phương trình \(PP':x - 1 + 2\left( {y - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 13 = 0\).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(PP'\) và \({\rm{\Delta }}\).
Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 1 = 0}\\{x + 2y - 13 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 5}\end{array} \Rightarrow I\left( {3;5} \right)} \right.} \right.\).
Suy ra \(P'\left( {5;4} \right);\overrightarrow {QP'} = \left( {8;8} \right)\)
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(QP'\) là \(\overrightarrow {{n_{QP'}}} = \left( {1; - 1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(QP':x - 5 - \left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0\).
Ta có \(P,Q\) nằm về cùng phía của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) nên \(MP + MQ = MP' + MQ \ge QP'\).
Suy ra \(MP + MQ\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M,P',Q\) thẳng hàng.
Hay \(M\) là giao điểm của \(QP'\) và \({\rm{\Delta }}\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y - 1 = 0}\\{2x - y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = - 1}\end{array}} \right.} \right.\).
Vậy tung độ điểm \(M\) là −1.
Đáp án cần nhập là: \( - 1\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Quãng đường Thỏ đi được từ lúc bắt đầu thi cho đến lúc Rùa vừa về đến đích là:
\(10000 - 200 = 9800\left( {\rm{m}} \right)\).
Vì tốc độ của Thỏ gấp 5 lần tốc độ của Rùa nên quãng đường Rùa đi được chỉ tính trong khoảng thời gian mà Thỏ đi là: \(9800:5 = 1960\left( {\rm{m}} \right)\).
Trong khoảng thời gian Thỏ ngủ, quãng đường mà Rùa đã đi được là: \(10000 - 1960 = 8040\) (m).
Đáp án cần nhập là: \(8040\).
Câu 2
A. 22000 đồng/kg.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Giả sử giá bán thay đổi \(x\) lần, mỗi lần thay đổi 2000 đồng (\(x \in \mathbb{Z},x > 0\) là tăng giá, \(x < 0\) là giảm giá).
Số tiền thu được sau khi bán 1 kg thanh long khi thay đổi giá là \(\left( {20 + x - 2,2} \right)\) nghìn đồng.
Số khách mua sau \(x\) lần thay đổi là \(90 - x\).
Số kg thanh long mỗi khách mua sau x lần thay đổi là \(\left( {60 - 5x} \right)\) (kg).
Tổng tiền thu được sau khi thay đổi là:
\(T = \left( {90 - x} \right)\left( {60 - 5x} \right)\left( {20 + 2x - 2,2} \right) = 10{x^3} - 931{x^2} + 1772x + 96120\) (nghìn đồng).
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}90 - x \ge 0\\60 - 5x \ge 0\\17,8 + 2x \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 90\\x \le 12\\x \ge - 8,9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 8,9 \le x \le 12\).
Xét hàm số \(T = 10{x^3} - 931{x^2} + 1772x + 96120\).
\(T' = 2\left( {15{x^2} - 931x + 886} \right)\).
\(T' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \approx 1\left( {TM} \right)}\\{x \approx 61\left( {KTM} \right)}\end{array}} \right.\).
Ta có \(T\left( { - 8,9} \right) = - 445;T\left( 1 \right) = 96971;T\left( {12} \right) = 600\)
\( \Rightarrow {T_{{\rm{max}}}}\) khi \(x = 1\). Tức là ta chỉ tăng giá 1 lần.
Vậy giá đưa ra để lợi nhuận cao nhất là: 22000 đồng/kg. Chọn A.
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập