Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( { - 2;1;3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục \(Ox,Oy,Oz\) tại \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Viết phương trình mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).    

Tọa độ tâm của tàu là \(I\left( {30;15;50} \right)\).

Bán kính của chiếc tàu ngầm là \(R = \sqrt {{{30}^2} + {{15}^2} + {{50}^2} - 3600}  = 5\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy khoảng cách từ thiết bị do thám đến bề mặt nước biển là \(45 + 5 = 50\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Đáp án cần nhập là: \(50\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên đường thẳng \(AB\).

Ta có \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB}\\{SH \bot AB}\end{array}} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc \(\widehat {SCH} = 45^\circ  \Rightarrow SH = SC \cdot {\rm{sin}}45^\circ \).

Mặt khác \[\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAB) \bot (ABCD)}\\{(SAB) \cap (ABCD) = AB}\\{CB \bot AB}\end{array}} \right\} \Rightarrow CB \bot (SAB)\].

Góc giữa \(SC\) và \(\left( {SAB} \right)\) là góc \(\widehat {CSB} = 30^\circ  \Rightarrow SC = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}30^\circ }} = 2a\).

Do đó \(SH = SC \cdot {\rm{sin}}45^\circ  = a\sqrt 2 \).

Diện tích đáy \({S_{ABCD}} = {a^2}\).

Thể tích khối chóp \({V_{S.ABCD}} = \frac{{SH \cdot {S_{ABC{\rm{D}}}}}}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\). Chọn D.