Cho điểm \(M\left( {10;0;0} \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y + z + 1 = 0\) và \(\left( \beta  \right):5x + y - z - 3 = 0\). Cho mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) đi qua \(M\), vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) đồng thời vuông góc với \(\left( \beta  \right)\). Biết rằng điểm \(I\left( {2{m^2};m;0} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\). Tổng các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

____

\(\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {1;1;1} \right)\).

\(\left( \beta  \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta  \right)}}}  = \left( {5;1; - 1} \right)\).

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( \gamma  \right) \bot \left( \alpha  \right)}\\{\left( \gamma  \right) \bot \left( \beta  \right)}\end{array} \Rightarrow \left( \gamma  \right)} \right.\) nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \beta  \right)}}} } \right] = \left( { - 2;6; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến hay nhận \(\vec n = \left( {1; - 3;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến

\( \Rightarrow \left( \gamma  \right):\left( {x - 10} \right) - 3\left( {y - 0} \right) + 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 2z - 10 = 0\).

Vì \(I \in \left( \gamma  \right)\) nên: \(2{m^2} - 3m - 10 = 0\) có 2 nghiệm \(m\) phân biệt có tổng bằng \( - \frac{b}{a} =  - \frac{{ - 3}}{2} = 1,5\).

Đáp án cần nhập là: \(1,5\).