Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 7 = 0\) và điểm \(A\left( {2; - 1;2} \right)\). Gọi \(d:\frac{{x - 3}}{{ - 4}} = \frac{{y - m}}{a} = \frac{{z + n}}{b}\) là đường thẳng đi qua \(A\), tiếp xúc với \(\left( S \right)\) và cách gốc tọa độ \(O\) một khoảng lớn nhất. Giá trị của biểu thức \(T = a + b + m + n\) là    

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 7 = 0\) có tâm \(I\left( {1;1;0} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Dễ thấy \(A\left( {2; - 1;2} \right) \in \left( S \right)\).

Do đó, đường thẳng \(d\) đi qua A, tiếp xúc với \(\left( S \right)\) thì \(d\) tiếp xúc với (S) tại \(A\), suy ra \(d \bot IA\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(d\). Khi đó ta có \(OH = d\left( {O,d} \right) \le OA = 3\).

Do đó, khoảng cách từ \(O\) đến \(d\) lớn nhất là 3, đạt được khi \(H \equiv A \Leftrightarrow d \bot OA\).

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {1; - 2;2} \right);\overrightarrow {OA}  = \left( {2; - 1;2} \right)\)

\(d \bot OA\) và \(d \bot IA\) nên \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {IA} } \right] = \left( {2; - 2; - 3} \right)\).

Mà \(d:\frac{{x - 3}}{{ - 4}} = \frac{{y - m}}{a} = \frac{{z + n}}{b}\) nên \(a = 4;b = 6\).

Lại có \(d\) qua \(A\left( {2; - 1;2} \right)\) nên

\(\frac{{2 - 3}}{{ - 4}} = \frac{{ - 1 - m}}{a} = \frac{{2 + n}}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{{ - 1 - m}}{4} = \frac{{2 + n}}{6} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 2}\\{n =  - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).

Vậy \(T = a + b + m + n = 4 + 6 + \left( { - 2} \right) + \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{15}}{2}\). Chọn A.