Trong câu lạc bộ thể thao học sinh của trường THPT A gồm khối \[10\] có \[4\] nam và \[3\] nữ, khối \[11\] có \[4\] nam và \[5\] nữ, khối \[12\] có \[4\] nam. Huấn luyện viên chọn ngẫu nhiên một học sinh đại diện dự khai mạc hội thao. Tính xác suất để chọn được học sinh là nữ.

a) Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 10!\).

b) Gọi \(A\) là biến cố: "5 bạn nữ đứng cạnh nhau".

Giả sử ghép 5 bạn nữ thành một nhóm có 5! cách ghép.

Coi 5 bạn nữ này là 1 cụm \(X\).

Khi đó bài toán trở thành xếp 5 bạn học sinh nam và \(X\) thành một hàng dọc.

Khi đó số cách xếp là \(6! \Rightarrow n(A) = 5!.6!\)

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{5!6!}}{{10!}} = \frac{1}{{42}}\).

c) Gọi \(B\) là biến cố: "Học sinh nam và học sinh nữ đứng cạnh nhau".

Để xếp 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang sao cho học sinh nam và học sinh nữ đứng cạnh nhau thì ta sẽ xếp xen kẽ.

Đánh số 10 vị trí từ 1 đến 10.

Trường hợp 1: Nam đứng vị trí lẻ, nữ đứng các vị trí chã̃n.

Ta có: \(5!.5!\).

Trường hợp 2: Nam đứng vị trí chã̃n, nữ đứng các vị trí lẻ Ta có: \(5!.5\)!.

Vậy có tất cả \(5!.5! + 5!.5! = 2.5!.5!\) cách xếp nam, nữ đứng xen kẽ thành một hàng ngang

Vậy \(P(B) = \frac{1}{{126}}\)

d) Gọi \(C\) biến cố "để 2 người đứng đầu hàng và cuối hàng là nữ".

Số cách chọn 2 bạn nữ xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là: \(A_5^2\).

Lúc này, còn lại 3 bạn nữ và 5 bạn nam, số cách xếp 8 người này vào 1 hàng là

Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề là: \(A_5^2 \cdot 8!\).

Vậy \(P(C) = \frac{2}{9}\)

Gọi \(A\) là biến cố: "Có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh".

Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 1, 1 bút xanh ở hộp 2 là: \(C_5^1 \cdot C_4^1\).

Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 2, 1 bút xanh ở hộp 1 là: \(C_8^1 \cdot C_7^1\).

\( \Rightarrow n(A) = C_5^1 \cdot C_4^1 + C_8^1 \cdot C_7^1 = 76.\)