Gieo một con súc xắc cân đối và đồng chất 2 lần. Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện trong 2 lần khác nhau”. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(\overline A \) là

Số tam giác được tạo từ 3 đỉnh trong 12 đỉnh là \(C_{12}^3\). Vì vậy \(n(\Omega ) = C_{12}^3\).

Gọi \(A\) : "Chọn được tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác".

Xét số tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác:

Các tam giác này sẽ có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của đa giác tức là có 2 cạnh là 2 cạnh liên tiếp của đa giác, 2 cạnh này cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác này có 12 đỉnh nên có 12 tam giác thỏa mãn trường hợp này.

Xét số tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác:

Trước tiên ta chọn 1 cạnh trong 12 cạnh của đa giác nên có 12 cách chọn.

Tiếp theo chọn 1 đỉnh còn lại trong 8 đỉnh (trừ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kể với cạnh đã chọn). Do đó trong trường hợp này có \(8.12\) tam giác.

Số tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác là \(12 + 8.12 = 108\).

Suy ra: \(n(A) = C_{12}^3 - 108 = 112\). Vậy \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{28}}{{55}}\).

a) Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 10!\).

b) Gọi \(A\) là biến cố: "5 bạn nữ đứng cạnh nhau".

Giả sử ghép 5 bạn nữ thành một nhóm có 5! cách ghép.

Coi 5 bạn nữ này là 1 cụm \(X\).

Khi đó bài toán trở thành xếp 5 bạn học sinh nam và \(X\) thành một hàng dọc.

Khi đó số cách xếp là \(6! \Rightarrow n(A) = 5!.6!\)

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{5!6!}}{{10!}} = \frac{1}{{42}}\).

c) Gọi \(B\) là biến cố: "Học sinh nam và học sinh nữ đứng cạnh nhau".

Để xếp 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang sao cho học sinh nam và học sinh nữ đứng cạnh nhau thì ta sẽ xếp xen kẽ.

Đánh số 10 vị trí từ 1 đến 10.

Trường hợp 1: Nam đứng vị trí lẻ, nữ đứng các vị trí chã̃n.

Ta có: \(5!.5!\).

Trường hợp 2: Nam đứng vị trí chã̃n, nữ đứng các vị trí lẻ Ta có: \(5!.5\)!.

Vậy có tất cả \(5!.5! + 5!.5! = 2.5!.5!\) cách xếp nam, nữ đứng xen kẽ thành một hàng ngang

Vậy \(P(B) = \frac{1}{{126}}\)

d) Gọi \(C\) biến cố "để 2 người đứng đầu hàng và cuối hàng là nữ".

Số cách chọn 2 bạn nữ xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là: \(A_5^2\).

Lúc này, còn lại 3 bạn nữ và 5 bạn nam, số cách xếp 8 người này vào 1 hàng là

Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề là: \(A_5^2 \cdot 8!\).

Vậy \(P(C) = \frac{2}{9}\)