Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{\left( {f\left( {x + 1} \right) - 4} \right)\sqrt {{x^2} - 4} }}\) có bao nhiêu đường tiệm cận (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 4 > 0}\\{f\left( {x + 1} \right) \ne 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x <  - 2}\\{x > 2}\end{array}} \right.}\\{f\left( {x + 1} \right) \ne 4}\end{array}} \right.} \right.\).

Xét \(f\left( {x + 1} \right) = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1 = \alpha  \in \left( { - 1;1} \right)}\\{x + 1 = 2}\\{x + 1 = \beta  \in \left( {4; + \infty } \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \alpha  - 1 \in \left( { - 2;0} \right)\,\,\,(L)}\\{x = 1\,\,\,(L)}\\{x = \beta  - 1 \in \left( {3; + \infty } \right)\,\,(TM)}\end{array}} \right.} \right.\)

Khi đó:

 là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì  khi \(x \to {(\beta  - 1)^ - }\) và

\(\left( {f\left( {x + 1} \right) - 4} \right)\sqrt {{x^2} - 4}  < 0\) khi \(x \to {(\beta  - 1)^ + }\)nên

\( \Rightarrow x = \beta  - 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng.

 nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận gồm 3 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận ngang.

Đáp án cần nhập là: \(4\).