Mái của một căn nhà nghiêng đều một góc \(\alpha \) so với mặt đất được minh họa như hình vẽ. Biết rằng nếu đặt trong không gian \(Oxyz\) thì mặt đất nằm tương ứng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), đoạn \(AB\) là một cạnh của mái nhà với \(A\left( {3; - 2;3} \right)\) và \(B\left( { - 3;1;5} \right)\). Góc \(\alpha \) bằng bao nhiêu độ (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

___

Gọi \(A\) là biến cố "Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ nhất là màu trắng",

\(B\) là biến cố "Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ hai là màu trắng".

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{3}{{25}},P\left( B \right) = \frac{{10}}{{25}}\).

Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên xác suất để 2 quả cầu lấy ra đều màu trắng:

\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{3}{{25}} \cdot \frac{{10}}{{25}} = \frac{{30}}{{625}}\).

Tương tự, xác suất để hai quả cầu lấy ra đều:

Màu xanh \(\frac{{15}}{{25}} \cdot \frac{9}{{25}} = \frac{{135}}{{625}}\).

Màu đỏ \(\frac{7}{{25}} \cdot \frac{6}{{25}} = \frac{{42}}{{625}}\).

Vậy xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau: \(\frac{{30}}{{625}} + \frac{{135}}{{625}} + \frac{{42}}{{625}} = \frac{{207}}{{625}} = 0,3312\).

Đáp án cần nhập là: \(0,33\).

Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Mà \(AB = BC = CD = DA = a \Rightarrow ABCD\) là hình thoi.

Do đó \(AC \bot BD\) đồng thời \(H\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

\({\rm{\Delta }}SAC\) cân tại \(S \Rightarrow SH \bot AC\) (1).

\(\Delta SBD\) cân tại \(S \Rightarrow SH \bot BD\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(SH \bot ABCD\) (3).

Vì \(SA = SB = SC = SD\) nên \(HA = HB = HC = HD\) suy ra \(ABCD\) là hình vuông.

Từ (1), (2) và (3) ta được \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều.

Xét \(\Delta SBD\) ta có \(SA = SB = a,BD = a\sqrt 2  \Rightarrow B{D^2} = S{B^2} + S{D^2}\).

Suy ra \(\Delta SBD\) vuông tại \(S\) suy ra \(DS \bot SB\). Vậy \(d\left( {D,SB} \right) = DS = a\). Chọn A.