Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \[m \cdot {3^{{x^2} - 7x + 12}} + {3^{2x - {x^2}}} = 9 \cdot {3^{10 - 5x}} + m\] có ba nghiệm thực phân biệt. Tìm tích các phần tử của \(S\).    

Ta có:\[m \cdot {3^{{x^2} - 7x + 12}} + {3^{2x - {x^2}}} = 9 \cdot {3^{10 - 5x}} + m\]

\[ \Leftrightarrow \]\[m\left( {{3^{{x^2} - 7x + 12}} - 1} \right) - {3^{2x - {x^2}}}\left( {{3^{{x^2} - 7x + 12}} - 1} \right) = 0\] \[ \Leftrightarrow \left( {{3^{{x^2} - 7x + 12}} - 1} \right)\left( {m - {3^{2x - {x^2}}}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \] \[\left[ \begin{array}{l}{3^{{x^2} - 7x + 12}} - 1 = 0\\m - {3^{2x - {x^2}}} = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \] \[\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 4\\2x - {x^2} - {\log _3}m = 0\left( * \right)\end{array} \right.\].

Phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệt, ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: \(\left( * \right)\) có một nghiệm \(x = 3\) và nghiệm còn lại khác \(4\).

Thay \(x = 3\) vào \(\left( * \right)\) ta được \({\log _3}m =  - 3 \Leftrightarrow m = \frac{1}{{27}}\).

Khi đó \(\left( * \right)\) trở thành \( - {x^2} + 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\) .

Trường hợp 2: \(\left( * \right)\) có một nghiệm \(x = 4\) và nghiệm còn lại khác \(3\).

Thay \(x = 4\) vào \(\left( * \right)\) ta được \({\log _3}m =  - 8 \Leftrightarrow m = {3^{ - 8}}\).

Khi đó \(\left( * \right)\) trở thành \( - {x^2} + 2x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 2\end{array} \right.\) .

Trường hợp 3: \(\left( * \right)\) có nghiệm kép khác \(3\) và \(4\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 1 - {\log _3}m = 0\\{\log _3}m \ne  - 3\\{\log _3}m \ne  - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(m = 3\).

Vậy tích cần tìm là \(\frac{1}{{27}} \cdot {3^{ - 8}} \cdot 3 = {3^{ - 10}}\). Chọn D.