Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang với AB // CD  và CD = k. AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, G là trọng tâm tam giác SAB. Xác định hệ số k để thiết diện của mặt phẳng (GMN) với hình chóp S. ABCD là hình bình hành? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ____

 

Đáp án đúng là "1/3"

Phương pháp giải

Xác định thiết diện dựa vào quan hệ song song

Lời giải

​

Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (GMN)

Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD,BC \Rightarrow MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\)

\( \Rightarrow MN//AB//CD\) và \(MN = \frac{{AB + CD}}{2}\)

Xét hai mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\) có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {GMN} \right) \cap \left( {SAB} \right) = \left\{ G \right\}}\\{MN//AB}\\{MN \subset \left( {GMN} \right),AB \subset \left( {SAB} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua \(G\) và song song với \(AB,MN\) cắt \(SA,SB\) lần lượt tại \(Q,P\)\( \Rightarrow \left( {GMN} \right) \cap \left( {SAB} \right) = PQ\)

Xét hai mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có \(P,N\) chung \( \Rightarrow \left( {GMN} \right) \cap \left( {SBC} \right) = PN\)

Xét hai mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) có \(M,Q\) chung \( \Rightarrow \left( {GMN} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MQ\)

Tương tự ta có: \(\left( {GMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\)

Vậy thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (GMN) là tứ giác: \(MNPQ\)

Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{MN//AB}\\{PQ//AB}\end{array}} \right\} \Rightarrow MN//PQ\)

Để tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành thì \(MN = PQ\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\)

Xét \(\Delta SAB\) có \(MN//AB\), theo định lý Talet ta có: \(\frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{SP}}{{SB}} = \frac{{PQ}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SI}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow PQ = \frac{2}{3}AB\)

Mà: \(MN = \frac{{AB + CD}}{2} = \frac{{kAB + AB}}{2} = \frac{{AB\left( {k + 1} \right)}}{2}\)

\( \Rightarrow MN = PQ \Leftrightarrow \frac{{\left( {k + 1} \right)}}{2}AB = \frac{2}{3}AB \Leftrightarrow \frac{{k + 1}}{2} = \frac{2}{3} \Rightarrow k = \frac{1}{3}\)