Cho lăng trụ \({\rm{ABC}}.{\rm{A'B'C'}}\) có các cạnh đáy bằng \(a\), góc tạo bởi cạnh bên và đáy là \({60^ \circ }\). Hình chiếu vuông góc của \(A\) trùng với trung điểm \(B'C'\). Tính \({\rm{tan}}\left( {BC,AC'} \right)\).

    

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Lời giải

Đáy là tam giác có các cạnh bằng nhau \(\Delta ABC\) là tam giác đều

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {A'B'C'} \right),H \in B'C'\)

\(B'BCC'\) là hình bình hành \( \Rightarrow B'C'//BC\)

\(\left( {\widehat {BC,AC'}} \right) = \left( {\widehat {B'C',AC'}} \right) = \widehat {AC'B'} \Rightarrow {\rm{tan}}\left( {BC,AC'} \right) = {\rm{tan}}\widehat {AC'B'}\)

Hình chiếu vuông góc của \(AA'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) là \(HA'\)

\( \Rightarrow \left( {AA',\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {AA',HA'} \right) = \widehat {AA'H} = {60^ \circ }\)

Xét hai hình bình hành: \(ACC'A'\) và \(ABB'A'\) có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A'C' = A'B' = a}\\{BB' = CC' = AA'}\\{AC = AB = a}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow ACC'A' = ABB'A'\)

\( \Rightarrow AB' = AC'\) (Hai đường chéo tương ứng)

\({\rm{\Delta }}AB'C'\) cân tại \(A \Rightarrow H\) là trung điểm \(B'C'\)

\( \Rightarrow A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Dễ dàng chứng minh được \(B'C' \bot \left( {AA'H} \right)\)

Ta có: \(\tan \left( {\widehat {AA'H}} \right) = \tan {60^ \circ } = \frac{{AH}}{{A'H}} \Rightarrow AH = A'H.\tan {60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \frac{{3a}}{2}\)

Xét \(\Delta AHC'\) vuông tại \(H\) có: \({\rm{tan}}\widehat {AC'H} = \frac{{AH}}{{HC'}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\frac{a}{2}}} = 3\)