Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật. Mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) đều cạnh bằng \(2a\), nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\frac{a}{2}\). Tính thể tích khối chóp?

 

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định đường cao dựa vào dữ kiện mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) đều, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Áp dụng công thức tính thể tích

Lời giải

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\)

Vì mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) đều, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow {V_{SABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}}\,\,(1)\)

\(SH\) là đường cao trong tam giác đều \( \Rightarrow SH = a\sqrt 3 \)

Ta có: \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(CD \Rightarrow HM \bot CD\)

Dễ dàng chứng minh được \(CD \bot \left( {SHM} \right)\)

Trong \(\Delta SHM\) kẻ \(HK \bot SM\)

Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{HK \bot SM}\\{CD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow CD \bot HK}\end{array}} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right)\)

\(d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK = \frac{a}{2}\)

Xét \(\Delta SHM\) vuông tại \(H\) có \(HK\) là đường cao

\( \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} - \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{{11}}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow HM = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}a\)

\( \Rightarrow AD = \frac{{a\sqrt {33} }}{{11}}\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AD.AB = 2a.\frac{{a\sqrt {33} }}{{11}} = \frac{{2{a^2}\sqrt {33} }}{{11}}\)

Vậy thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{2{a^2}\sqrt {33} }}{{11}} = \frac{{2{a^3}\sqrt {11} }}{{11}}\)