Một chất điểm \(A\) xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v\left( t \right) = \frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}t\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc \(A\) bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \(B\) cũng xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng cùng hướng với \(A\) nhưng chậm hơn \(3\) giây so với \(A\) và có gia tốc bằng \(a\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\) (\(a\) là hằng số). Sau khi \(B\) xuất phát được \(15\) giây thì đuổi kịp \(A\). Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng     

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm O, A là \(y = 2x\), đường thẳng đi qua hai điểm A, B là \(y = 2\).

Do đó ta có công thức hàm vận tốc là \(v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2t\;{\rm{khi}}\;0 \le t \le 1\\2\;\;{\rm{khi}}\;t > 1\end{array} \right.\).

b) Quãng đường vật đi được trong 1 giây đầu tiên được xác định bởi công thức \(s\left( t \right) = \int\limits_0^1 {v\left( t \right)dt} \).

c) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 1 giây đến 2 giây được xác định bởi công thức \(s\left( t \right) = \int\limits_1^2 {v\left( t \right)dt} \).

d) Quãng đường mà vật đi được trong 2 giây đầu tiên là

\(s\left( t \right) = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {2tdt} + \int\limits_1^2 {2dt} = 1 + 2 = 3\) m.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)nên \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow m + 5 = 3 \Leftrightarrow m = - 2\).

b) Ta có \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {x^2} + mx + {C_1}\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\5x - {x^2} + {C_2}\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\).

Ta có \(F\left( { - 2} \right) = 5.\left( { - 2} \right) - {\left( { - 2} \right)^2} + {C_2} \Rightarrow {C_2} = - 10 + 14 = 4\).

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} + {x^2} + mx + {C_1}} \right) = m + 2 + {C_1}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {5x - {x^2} + {C_2}} \right) = 4 + {C_2}\).

Ta lại có \(F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow m + 2 + {C_1} = 4 + {C_2} \Leftrightarrow {C_1} = 6 - m\).

Mà \(m = - 2\) nên \({C_1} = 8\).

Vậy \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {x^2} - 2x + 8\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\5x - {x^2} + 4\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\).

c) \(F\left( 3 \right) = {3^3} + {3^2} - 2.3 + 8 = 38\).

d) \(\int\limits_1^{{e^2}} {f\left( {\ln x} \right)\frac{1}{x}dx} \)\( = \int\limits_1^{{e^2}} {f\left( {\ln x} \right)d\left( {\ln x} \right)} \)\( = \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} \)\( = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \)

\( = \int\limits_0^1 {\left( {5 - 2x} \right)dx + \int\limits_1^2 {\left( {3{x^2} + 2x - 2} \right)dx} } = 12\).