Cho hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x}}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{x + 1}&{{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\]. Tích phân \[I = \int\limits_2^0 { - 3{t^2}f(t){\rm{d}}t} \]. (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} dx = \int {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).

Một nguyên hàm \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + 2025\).

b) Có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).

Ta có \(F\left( 1 \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = \frac{3}{2} \Leftrightarrow C = 1\). Suy ra \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + 1\).

Vậy \(F\left( e \right) = \frac{{{e^2}}}{2} + 2\).

c) Theo định nghĩa nguyên hàm \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) khi và chỉ khi \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

d) Ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).

Đồ thị của hàm số \(F\left( x \right)\) đi qua \(M\left( {e;\frac{{{e^2}}}{2}} \right)\) nên ta có phương trình \(\frac{{{e^2}}}{2} = \frac{{{e^2}}}{2} + \ln e + C \Leftrightarrow C = - 1\).

Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x - 1\). Suy ra \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} + \ln 1 - 1 = - \frac{1}{2}\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì \({\left( { - 2\sin x + C} \right)^\prime } = - 2\cos x \ne 4{\cos ^2}\frac{x}{2}\) nên hàm số \(F\left( x \right) = - 2\sin x + C\) không phải là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) đã cho.

b) Có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {4{{\cos }^2}\frac{x}{2}} dx = \int {2\left( {1 + \cos x} \right)} dx = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Suy ra \(a = 2;b = 2\). Do đó \(a + b = 4\).

c) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Vì \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \(C = 1\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1\).

d) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Vì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(2\left( {\frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = - \pi - 2\).

Vậy \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) - \pi - 2\).