Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$, biết

a) $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{x},\left( {x \ne 0} \right)$; b) $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{\sqrt x }},\left( {x > 0} \right)$; c) $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}},\left( {x > 0} \right)$.

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{x}dx} = \int {\left( {x + 3 + \frac{2}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 3x + 2\ln \left| x \right| + C$.

b) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{\sqrt x }}} dx = \int {\left( {x\sqrt x + 3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)dx} $

$ = \int {\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 3{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)dx} = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + 2{x^{\frac{3}{2}}} + 2\sqrt x + C$.

c) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} $$ = 2\sqrt x + \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = {x^2} + 3,y = 0,x = 0,x = 2$ xung quanh trục $Ox$.

Xem đáp án

Lời giải

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là

$V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} $$ = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^4} + 6{x^2} + 9} \right)dx} $$ = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} + 2{x^3} + 9x} \right)} \right|_0^2$$ = \frac{{202\pi }}{5}$.

Câu 2

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 4$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có ${x^3} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in \left[ {1;4} \right]$.

Diện tích hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{1}^{4} |x^{3} - 3 x^{2}| d x$ $= \int_{1}^{3} |x^{3} - 3 x^{2}| d x + \int_{3}^{4} |x^{3} - 3 x^{2}| d x$ $= \int_{1}^{3} (3 x^{2} - x^{3}) d x + \int_{3}^{4} (x^{3} - 3 x^{2}) d x$

$ = \left. {\left( {{x^3} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_3^4$$ = 6 + \frac{{27}}{4} = \frac{{51}}{4}$.

Câu 3